时域中两个信号的卷积等效于它们在频域中的表示乘积。数学上，我们可以将两个信号的卷积写为

$$ y(t)= x_ {1}(t)* x_ {2}(t)$$ $$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_ {1}(p).x_ {2 }(tp)dp $$

卷积步骤

• 取信号x ₁ (t)并将t = p放在那儿，这样它将是x ₁ (p)。
• 取信号x ₂ (t)并执行步骤1，使其为x ₂ (p)。
• 折叠信号，即x ₂ (-p)。
• 对上述信号进行时移x ₂ [-(pt)]
• 然后将两个信号相乘。即$ x_ {1}(p).x_ {2} [-(pt)] $

例

让我们对阶跃信号u(t)进行自己的卷积。

$ y(t)= u(t)* u(t)$

$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} [u(p).u [-(pt)] dp $

现在，该t可以大于或小于零，如下图所示

因此，在上述情况下，结果具有以下可能性

$ y(t)= \ begin {cases} 0，且if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt，＆for \ quad t> 0 \ end {cases} $

$ = \ begin {cases} 0，＆if \ quad t <0 \\ t，＆t> 0 \ end {cases} = r(t)$

卷积的性质

可交换的

它指出卷积的顺序无关紧要，可以用数学表示为

$$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= x_ {2}(t)* x_ {1}(t)$$

联想的

它指出涉及三个信号的卷积顺序可以是任何东西。数学上可以表示为

$$ x_ {1}(t)* [x_ {2}(t)* x_ {3}(t)] = [x_ {1}(t)* x_ {2}(t)] * x_ {3} (t)$$

分配式

可以先将两个信号相加，然后再对第三个信号进行卷积。这等效于将两个信号分别与第三个信号进行卷积并最终相加。从数学上讲，可以写成：

$$ x_ {1}(t)* [x_ {2}(t)+ x_ {3}(t)] = [x_ {1}(t)* x_ {2}(t)+ x_ {1}( t)* x_ {3}(t)] $$

区

如果一个信号是两个信号卷积的结果，那么信号的面积就是这些单个信号的乘积。数学上可以这样写

如果$ y(t)= x_ {1} * x_ {2}(t)$

则y(t)的面积= x ₁ (t)的面积X x ₂ (t)的面积

缩放比例

如果将两个信号缩放到某个未知常数“ a”并进行卷积，则结果信号也将被卷积为相同的常数“ a”，并将除以该量，如下所示。

如果$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= y(t)$

然后， $ x_ {1}(at)* x_ {2}(at)= \ frac {y(at)} {a}，\ ne 0 $

延迟

假设信号y(t)是两个信号x1(t)和x2(t)卷积的结果。如果两个信号分别延迟了时间t1和t2，则合成信号y(t)将延迟(t1 + t2)。从数学上讲，它可以写成-

如果$ x_ {1}(t)* x_ {2}(t)= y(t)$

然后， $ x_ {1}(t-t_ {1})* x_ {2}(t-t_ {2})= y [t-(t_ {1} + t_ {2})] $

解决的例子

示例1-求出信号u(t-1)和u(t-2)的卷积。

解决方案-给定的信号是u(t-1)和u(t-2)。它们的卷积可以如下所示进行-

$ y(t)= u(t-1)* u(t-2)$

$ y(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} [u(t-1).u(t-2)] dt $

$ = r(t-1)+ r(t-2)$

$ = r(t-3)$

示例2-找到两个信号的卷积

$ x_ {1}(n)= \ lbrace 3，-2，2 \ rbrace $

$ x_ {2}(n)= \ begin {cases} 2，＆0 \ leq n \ leq 4 \\ 0，＆x>其他位置\ end {cases} $

解决方案–

x ₂ (n)可以解码为$ x_ {2}(n)= \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $

x ₁ (n)先前已给定$ = \ lbrace 3，-2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} $

同样， $ x_ {2}(z)= 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4} $

结果信号

$ X(Z)= X_ {1}(Z)X_ {2}(z)$

$ = \ lbrace 3-2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-2} + 2Z ^ {-3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ {-1} + 6Z ^ {-2} + 6Z ^ {-3} + 6Z ^ {-4} + 6Z ^ {-5} $

取上述的逆Z变换，我们将得到的结果信号为

$ x(n)= \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $第一个起点

示例3-确定以下2个信号的卷积-

$ x(n)= \ lbrace 2,1,0,1 \ rbrace $

$ h(n)= \ lbrace 1,2,3,1 \ rbrace $

解决方案–

取信号的Z变换，我们得到

$ x(z)= 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-3} $

并且$ h(n)= 1 + 2Z ^ {-1} + 3Z ^ {-2} + Z ^ {-3} $

现在两个信号的卷积意味着它们的Z变换相乘

那就是$ Y(Z)= X(Z)\ h(Z)$

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {-1} + 2Z ^ {-3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {-1} + 3Z ^ {-2} + Z ^ {-3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {-1} + 8Z ^ {-2} + 6Z ^ {-3} + 3Z ^ {-4} + 3Z ^ {-5} + Z ^ {-6} \ rbrace $

取反Z变换，结果信号可写为：

$ y(n)= \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $