在本章中，我们将了解什么是弗里德曼方程式，并针对不同曲率常数的世界模型进行详细研究。

弗里德曼方程

该方程式告诉我们有关宇宙的均质和各向同性模型中空间的扩展。

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $

在广义相对论(GR)和Robertson-Walker度量标准的情况下对此进行了如下修改。

使用GR方程-

$$ \ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2 $$

其中k是曲率常数。因此，

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho-\ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $

同样，$ \ r $被能量密度所取代，能量密度包括物质，辐射和任何其他形式的能量。但是出于表示目的，它被写为$ \ rho $。

不同曲率常数的世界模型

现在让我们看看取决于曲率常数值的各种可能性。

情况1：k = 1，或封闭宇宙

对于扩展的宇宙，$ da / dt> 0 $。随着扩展的继续，上式中RHS的第一项变为$ a ^ {-3} $，而第二项变为$ a ^ {-2} $。当两个项相等时，宇宙停止膨胀。然后-

$$ \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $$

因此，这里k = 1

$$ a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} $$

这样的宇宙是有限的，并且具有有限的体积。这称为封闭宇宙。

情况2：k = -1，或开放宇宙

如果k <0 ，则扩展永远不会停止。经过一段时间，与第二项相比，RHS的第一项可以忽略。

在此，k ＝ -1。因此，$ da / dt〜c $。

在这种情况下，宇宙在滑行。这样的宇宙具有无限的空间和时间。这称为开放宇宙。

情况3：k = 0，或平坦宇宙

在这种情况下，宇宙正在以递减的速度膨胀。在这里，k =0。因此，

$$ \ left(\ frac {\ dot {a}} {a} \ right)^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho $$

这样的宇宙具有无限的空间和时间。这称为平面宇宙。

要记住的要点

• 弗里德曼方程式告诉我们有关宇宙的均质和各向同性模型中空间的扩展。

• 根据不同的曲率常数值，我们可以有一个封闭的，开放的或平坦的宇宙。