弗里德曼测验

弗里德曼测试(Friedman Test)：这是一种非参数测试，可替代具有重复测量的单向方差分析。它试图确定主题是否在各种情况/条件下发生了显着变化。例如：-一组人的解决问题的能力在早上，下午和晚上相同或不同。当因变量为序数时，用于测试组之间的差异。当样本量很小时，此测试特别有用。

弗里德曼测试的要素

• 即上的措施三个或更多个块加班/实验条件下测得一组。
• 一个因变量，可以是序数，间隔或比率。

弗里德曼检验的假设

• 该组是总体中的随机样本。
• 样本不是正态分布的。

弗里德曼检验的零假设和交替假设

零假设：给定的度量条件之间没有显着差异，或者所有条件的概率分布都相同。 (中位数相同)

替代假设：它们中的至少2个彼此不同。

H0 : M1 = M2 = M3 = ..... Mk  ; M= Median
H1 : At least two of them show significant difference.

弗里德曼检验的检验统计量

$F_{R}=\frac{12}{n k(k+1)} \sum R_{i}^{2}-3 n(k+1)$

n = total number of subjects/participants.
k = total number of blocks to be measured.
Ri = sum of ranks of all subjects for a block i

弗里德曼检验的决策规则

您可以根据以下规则做出决定-

1. 计算值与表值：如果F _R大于临界值限制，则拒绝零假设。否则，接受零假设。
2. P值方法：将P值与Alpha(重要性水平)进行比较。如果p值小于或等于alpha，则拒绝空假设。

事后分析：如果使用Post Hoc分析拒绝零假设，则可以找出任何给定的实验条件之间是否存在差异，后者可以使用Wilcoxon秩次检验，Conover检验等进行。在Wilcoxon检验中，您也可以获取所有对的结果，但是您必须进行Bonferroni校正，这会将显着性水平更改为给定的显着性水平/对总数。

执行弗里德曼测试的步骤：

让我们以一个例子来了解如何执行此测试。

例：随机给7个人提供3种不同的药物，并为每个人记录与药物对应的反应时间。在5％显着性水平上测试所有3种药物具有相同概率分布的声明。

	Drug A	Drug B	Drug C
1	1.24	1.50	1.62
2	1.71	1.85	2.05
3	1.37	2.12	1.68
4	2.53	1.87	2.62
5	1.23	1.34	1.51
6	1.94	2.33	2.86
7	1.72	1.43	2.86

步骤1：定义NULL和替代假设

H0 : All three drugs have the same probability distribution. MA = MB = MC
H1 : At least two of them differ from each other.

步骤2：状态Alpha(重要性级别)

Alpha = 0.05

步骤3：计算自由度

DF = K-1       ; K = number of blocks to be measured.
Here , DF = 3-1 =2.

步骤4：找出关键卡方值。

使用此表找出alpha = 0.05和DF = 2的临界卡方值。

X2 = 5.991

步骤5：状态决定规则

您可以检查以下两个规则中的任何一个-

1) If FR is greater than 5.991 , reject the Null Hypothesis.

步骤6：为每个人对应的药物分配等级，然后求和。

排名将按升序排列。

	Ranks
	Drug A	Drug B	Drug C
1	1	2	3
2	1	2	3
3	1	3	2
4	2	1	3
5	1	2	3
6	1	2	3
7	2	1	3
	∑ = 9	∑ = 13	∑ = 20

注意：如果在同一行中2列或更多列具有相同的值，则分配给它们的等级是它们获得的等级的平均值。例如：如果一行有2列，其值x为x，它们得到的等级分别为4和5。则这两列都将被分配等级(4 + 5)/ 2，即4.5。

步骤7：计算测试统计量

$F_{R}=\frac{12}{(7)(3)(4)}\left(9^{2}+13^{2}+20^{2}\right)-3(7)(4)$

FR = 8.857

步骤8：陈述结果

Since FR is greater than 5.991 , We reject the Null Hypothesis.

步骤9：陈述结论

All the three drugs do not have the same probability distribution.

您可以将事后分析与Wilcoxon测试一起应用，以了解哪些对之间存在显着差异。

这里，

Total number of pairs can be 3 (Drug A - Drug B , Drug B - Drug C , Drug A - Drug C).
The new level of significance to be considered for each pair will be 0.05/3 = 0.0166.

使用R实现Friedman测试

R

# R program to illustrate 
# Friedman Test 
  
#input the data
y <- matrix(c(1.24,1.50,1.62,
              1.71,1.85,2.05,
              1.37,2.12,1.68,
              2.53,1.87,2.62,
              1.23,1.34,1.51,
              1.94,2.33,2.86,
              1.72,1.43,2.86),
nrow = 7, byrow = TRUE,
dimnames = list(Person= as.character(1:7),Drugs = c("Drug A","Drug B","Drug C")))
  
#display the sample data
print(y)

输出：

[R

#perform friedman test on the sample
result = friedman.test(y)
print(result)

输出：

由于p值小于显着性水平(5％)，因此可以得出结论，概率分布存在显着差异。