声明：连续时间信号可以在其样本中表示，并且可以在采样频率f _s大于或等于消息信号的最高频率分量的两倍时恢复。即

$$ f_s \ geq 2 f_m。 $$

证明：考虑一个连续的时间信号x(t)。 X(t)的频谱是有限的至f_米赫兹即X(t)的频谱的频带为零|ω|>ω_米。

输入信号x(t)的采样可以通过将x(t)乘以周期T _s的脉冲序列δ(t)来获得。乘法器的输出是一个离散信号，称为采样信号，在下图中用y(t)表示：

在这里，您可以观察到采样信号需要脉冲周期。采样过程可以通过以下数学表达式来解释：

$ \ text {采样信号} \，y(t)= x(t)。 \ delta(t)\，\，… \，…(1)$

$ \ delta $(t)的三角傅里叶级数表示为

$ \ delta(t)= a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}(a_n \cos⁡n \ omega_s t + b_n \sin⁡n \ omega_s t)\，\，… \ ,. ..(2)$

其中$ a_0 = {1 \ over T_s} \ int _ {-T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta(t)dt = {1 \ over T_s} \ delta(0)= {1 \ over T_s } $

$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {-T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta(t)\ cos n \ omega_s \，dt = {2 \ over T_2} \ delta(0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ over T} $

$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {-T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta(t)\sin⁡n \ omega_s t \，dt = {2 \ over T_s} \ delta( 0)\sin⁡n \ omega_s 0 = 0 $

将以上值代入公式2。

$ \ therefore \，\ delta(t)= {1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}({2 \ over T_s} \ cos⁡n \ omega_s t + 0)$

将δ(t)代入公式1。

$ \ to y(t)= x(t)。 \ delta(t)$

$ = x(t)[{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $

$ = {1 \ over T_s} [x(t)+ 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty}(\ cos n \ omega_s t)x(t)] $

$ y(t)= {1 \ T_s} [x(t)+ 2 \ cos \ omega_s tx(t)+ 2 \ cos 2 \ omega_st.x(t)+ 2 \ cos 3 \ omega_s tx(t) \，… \，… \，] $

在两侧进行傅立叶变换。

$ Y(\ omega)= {1 \ over T_s} [X(\ omega)+ X(\ omega- \ omega_s)+ X(\ omega + \ omega_s)+ X(\ omega-2 \ omega_s)+ X(\ omega + 2 \ omega_s)+ \，…] $

$ \ therefore \，\，Y(\ omega)= {1 \ over T_s} \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} X(\ omega-n \ omega_s)\ quad \ quad其中\，\ ，n = 0，\ pm1，\ pm2，… $

要重建x(t)，必须从采样的信号频谱Y(ω)中恢复输入信号频谱X(ω)，这在Y(ω)的周期之间没有重叠时是可能的。

下图给出了在不同条件下采样频谱的可能性：

混叠效果

欠采样情况下的重叠区域表示混叠效应，可以通过消除混叠效应来消除

• 考虑f _s > 2f _m

• 通过使用抗锯齿过滤器。