$ -1 + -2

$ -3

因此，结果是周期为7的梯形。

卷积信号区域

卷积信号下的面积由$ A_y = A_x A_h $给出

其中A _x =输入信号下的面积

A _h =冲激响应下的面积

A _y =输出信号下的面积

证明： $ y(t)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(\ tau)h(t- \ tau)d \ tau $

双方融合

$ \ int y(t)dt \，\，\，= \ int \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，x(\ tau)h(t- \ tau)d \ tau dt $

$ = \ int x(\ tau)d \ tau \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，h(t- \ tau)dt $

我们知道任何信号的面积就是该信号本身的积分。

$ \因此A_y = A_x \，A_h $

直流分量

任何信号的直流分量由下式给出

$ \ text {DC组件} = {\ text {信号区域} \ over \ text {信号周期}} $

例如：下面给出的卷积信号的直流分量是多少?

此处x ₁ (t)的面积=长度×宽度= 1×3 = 3

x ₂ (t)的面积=长度×宽度= 1×4 = 4

卷积信号的面积= x ₁ (t)的面积×x ₂ (t)的面积

= 3×4 = 12

卷积信号的持续时间=下限之和

= -1 + -2

= -3

期间= 7

$ \ there $卷积信号的Dc分量= $ \ text {信号的区域} \ over \ text {信号的周期} $

Dc组件= $ {12 \ over 7} $

离散卷积

让我们看看如何计算离散卷积：

一世。要计算离散线性卷积：

卷积两个序列x [n] = {a，b，c}＆h [n] = [e，f，g]

卷积输出= [ea，eb + fa，ec + fb + ga，fc + gb，gc]

注意：如果任何两个序列分别具有m，n个样本，那么所得的卷积序列将具有[m + n-1]个样本。

示例：对两个序列进行卷积x [n] = {1,2,3}＆h [n] = {-1,2,2}

卷积输出y [n] = [-1，-2 + 2，-3 + 4 + 2，6 + 4，6]

= [-1，0，3，10，6]

在此，x [n]包含3个样本，h [n]也包含3个样本，因此所得序列具有3 + 3-1 = 5个样本。

ii。计算周期性或循环卷积：

周期卷积对于离散傅里叶变换有效。为了计算周期卷积，所有样本必须是实数。周期性或圆形卷积也称为快速卷积。

如果使用圆形卷积分别对长度为m，n的两个序列进行卷积，则得到的序列具有最多[m，n]个样本。

例如：使用圆形卷积对两个序列x [n] = {1,2,3}和h [n] = {-1,2,2}进行卷积

普通卷积输出y [n] = [-1，-2 + 2，-3 + 4 + 2，6 + 4，6]。

= [-1，0，3，10，6]

在此，x [n]包含3个样本，h [n]也包含3个样本。因此，通过循环卷积获得的结果序列必须具有max [3,3] = 3个样本。

现在要获得周期性卷积结果，正常卷积的第一个3个样本(周期为3)相同，接下来将两个样本添加到第一个样本中，如下所示：

$ \ there $$循环卷积结果$ y [n] = [9 \ quad 6 \ quad 3] $

相关性

相关性是两个信号之间相似性的量度。相关的一般公式是

$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t)x_2(t- \ tau)dt $$

有两种类型的关联：

• 自动关联

• 克罗斯相关

自相关功能

它定义为信号与其自身的相关性。自动相关函数可衡量信号及其延时版本之间的相似性。用R($ \ tau $)表示。

考虑信号x(t)。 x(t)及其时延版本的自相关函数由下式给出

$$ R_ {11}(\ tau)= R(\ tau)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)x(t- \ tau)dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)x(t + \ tau)dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $$

其中$ \ tau $ =搜索或扫描或延迟参数。

如果信号是复数，则自动相关函数为

$$ R_ {11}(\ tau)= R(\ tau)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t)x *(t- \ tau)dt \ quad \ quad \ text {[ + ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x(t + \ tau)x *(t)dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift] } $$

能量信号自相关函数的性质

• 自相关具有共轭对称性，即R($ \ tau $)= R *(-$ \ tau $)

• 原始能量信号的自动相关函数，即在$ \ tau $ = 0处等于该信号的总能量，其给出为：

  R(0)= E = $ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \，| \，x(t)\，| ^ 2 \，dt $

• 自动相关函数$ \ infty {1 \ over \ tau} $，

• 自动相关函数在$ \ tau $ = 0处最大，即| R($ \ tau $)| ≤R(0)∀$ \ tau $

• 自相关函数和能量谱密度是傅立叶变换对。即

  $ FT \，[R(\ tau)] = \ Psi(\ omega)$

  $ \ Psi(\ omega)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} R(\ tau)e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau $

• $ R(\ tau)= x(\ tau)* x(-\ tau)$

功率信号的自相关功能

周期为T的周期功率信号的自相关函数为

$$ R(\ tau)= \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ T之上} \ int _ {{-T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}}} \，x(t)x *(t- \ tau)dt $$

物产

• 功率信号的自相关表现出共轭对称性，即$ R(\ tau)= R *(-\ tau)$

• $ \ tau = 0 $(原点处)的功率信号的自相关函数等于该信号的总功率。即

  $ R(0)= \ rho $

• 电源信号$ \ infty {1 \ over \ tau} $的自相关函数，

• 功率信号的自相关函数在$ \ tau $ = 0时最大，即

  $ | R(\ tau)| \ leq R(0)\，\ forall \，\ tau $

• 自相关函数和功率谱密度是傅立叶变换对。即

  $ FT [R(\ tau)] = s(\ omega)$

  $ s(\ omega)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} R(\ tau)e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau $

• $ R(\ tau)= x(\ tau)* x(-\ tau)$

密度谱

让我们看一下密度谱：

能量密度谱

能量密度谱可以使用以下公式计算：

$$ E = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | \，x(f)\，| ^ 2 df $$

功率密度谱

功率密度谱可以使用以下公式计算：

$$ P = \ Sigma_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \，| \，C_n | ^ 2 $$

互相关函数

互相关是两个不同信号之间相似性的量度。

考虑两个信号x ₁ (t)和x ₂ (t)。这两个信号$ R_ {12}(\ tau)$的互相关由下式给出：

$$ R_ {12}(\ tau)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t)x_2(t- \ tau)\，dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t + \ tau)x_2(t)\，dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $$

如果信号很复杂，那么

$$ R_ {12}(\ tau)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t)x_2 ^ {*}(t- \ tau)\，dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t + \ tau)x_2 ^ {*}(t)\，dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $ $

$$ R_ {21}(\ tau)= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_2(t)x_1 ^ {*}(t- \ tau)\，dt \ quad \ quad \ text {[+ ve shift]} $$

$$ \ quad \ quad = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_2(t + \ tau)x_1 ^ {*}(t)\，dt \ quad \ quad \ text {[-ve shift]} $ $

能量和功率信号的互相关函数的性质

• 自相关表现出共轭对称性，即$ R_ {12}(\ tau)= R ^ * _ {21}(-\ tau)$。

• 互相关不像卷积那样是可交换的，即

  $$ R_ {12}(\ tau)\ neq R_ {21}(-\ tau)$$

• 如果R ₁₂ (0)= 0表示，如果$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x_1(t)x_2 ^ *(t)dt = 0 $，则这两个信号被认为是正交的。

  对于功率信号，如果$ \ lim_ {T \ to \ infty} {1 \ over T} \ int _ {{-T \ over 2}} ^ {{T \ over 2}} \，x(t)x ^ *(则两个信号被认为是正交的。

• 互相关函数对应于一个信号频谱与另一信号频谱的复共轭的乘法。即

  $$ R_ {12}(\ tau)\ leftarrow \ rightarrow X_1(\ omega)X_2 ^ *(\ omega)$$

  这也称为相关定理。

帕瑟瓦尔定理

能量信号的Parseval定理指出，信号中的总能量可以通过以下方式获得：

$ E = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | X(\ omega)| ^ 2 d \ omega $

注意：如果信号具有能量E，则该信号x(at)的时间标度版本具有能量E / a。