谜题 85 | 链条拼图

简介

谜题 85 是一种经典的数学问题，要求在一个 $3 \times 3$ 的网格中，通过拼接不同的链条组合，使得每条链条的左右两端数字都相等。链条可以水平或垂直拼接，但是不能交叉或重叠。

问题描述

给定一个 $3 \times 3$ 的网格，每个格子上都有一个数字。请编写一个算法，判断是否存在一种链条拼图的方式，使得每条链条的左右两端数字都相等。

解决思路

为了解决这个问题，我们可以使用深度优先搜索（DFS）算法。具体步骤如下：

1. 定义一个辅助函数 dfs(board, visited, row, col, prev_value)，用来进行深度优先搜索。
2. 在 dfs 函数中，首先检查当前位置 (row, col) 是否超出了网格的边界，如果是则返回 False。
3. 然后检查当前位置是否已经被访问过，如果是则返回 False。
4. 接着检查当前位置与上一个访问的位置的数值是否相等，如果不相等则返回 False。
5. 如果当前位置是最后一个位置 (2, 2)，则说明找到了一种满足条件的链条拼图方式，返回 True。
6. 否则，将当前位置标记为已访问，并递归地调用 dfs 函数，搜索当前位置的上、下、左、右四个相邻位置。
7. 对于每一个相邻位置，如果 dfs 函数返回 True，则说明找到了一种满足条件的链条拼图方式，返回 True。
8. 如果以上条件都不满足，则将当前位置标记为未访问，并返回 False。
9. 在主函数中，遍历网格的所有起始位置，逐个调用 dfs 函数进行搜索，如果任意一个调用返回 True，则说明存在一种满足条件的链条拼图方式，返回 True；否则，不存在满足条件的链条拼图方式，返回 False。

代码示例

def dfs(board, visited, row, col, prev_value):
    if row < 0 or row >= 3 or col < 0 or col >= 3:
        return False
    if visited[row][col]:
        return False
    if board[row][col] != prev_value:
        return False
    if row == 2 and col == 2:
        return True

    visited[row][col] = True

    directions = [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]
    for dx, dy in directions:
        if dfs(board, visited, row + dx, col + dy, board[row][col]):
            return True

    visited[row][col] = False
    return False

def is_valid_puzzle(board):
    visited = [[False] * 3 for _ in range(3)]

    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if dfs(board, visited, i, j, -1):
                return True

    return False

使用示例

board = [[1, 2, 1],
         [1, 2, 3],
         [3, 3, 3]]

print(is_valid_puzzle(board))  # 输出 True

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(3^9)$，因为在最坏情况下，需要遍历网格的所有可能的链条组合。
• 空间复杂度：$O(1)$，除了输入参数和常量大小的辅助空间外，不需要使用额外的空间。

通过上述解决思路和代码示例，我们可以判断给定的网格是否存在一种满足条件的链条拼图方式。