谜题 15 | (骆驼和香蕉拼图)

该谜题是经典的悬赏问题，题目如下：

有 3000 根香蕉，一只骆驼要将它们从 A 地运到 B 地，距离为 1000 英里，骆驼每次可以携带最多 1000 根香蕉，每走 1 英里要消耗 1 根香蕉，但是骆驼不能够把香蕉留在中途的任何一个地方。请问骆驼最多可以携带多少根香蕉到 B 地？

这个问题听起来很简单，但是实际上却非常复杂。解决这个问题的方法有很多种，本篇文章将介绍两种方法。

方法一：二分答案（Binary Search）

二分答案是优化问题的经典方法，可以简单地理解为“找到一个值，使满足某种条件的值最大或最小”。在这个问题中，我们可以二分答案，先猜一个骆驼最多可以携带的香蕉数量 X，然后检查是否有一种方案可以用不超过 X 根香蕉到达 B 地，如果可以，就尝试猜更大的值；如果不可以，就猜更小的值。

二分答案的实现

二分答案的实现分为两步：一是检查是否满足题目条件，二是按照猜测的香蕉数量计算出具体的路线（路径可以用贪心算法求出，即每次选择最多可以携带 X 根香蕉的路段）并判断是否可以到达 B 地。

另外，为避免精度问题，我们可以将香蕉数量和路程分别乘上 1000 并向上取整，这样就可以把它们都转化为整数，大大减小了计算时的误差。

import math

# 输入数据
n = 3000  # 香蕉数量
d = 1000  # 路程

# 将香蕉数量和路程分别乘上 1000 并向上取整
n *= 1000
d *= 1000

# 二分答案
l, r = 1, n
while l < r:
    mid = (l + r) // 2  # 猜测的香蕉数量
    cnt = n  # 当前剩余的香蕉数量
    x = 0  # 当前已经走过的距离
    while cnt > 0 and x <= d:  # 模拟走路
        cur = min(cnt, mid)  # 当前可以携带的香蕉数量
        cnt -= cur
        x += 1
        if x % d == 0:  # 到达一个城市
            cnt -= x // d  # 留下一些香蕉
    if cnt <= 0:  # 可以到达终点
        l = mid + 1
    else:
        r = mid - 1

ans = (l - 1) // 1000  # 将答案还原回原来的值
print(ans)

该算法的时间复杂度为 O(N log N)，其中 N 是香蕉的数量。

方法二：数学优化

除了二分答案，我们还可以利用数学进行优化，找到该问题的一个O(1)解。

假设骆驼每次可以携带X根香蕉，到达下一个城市后又留下了Y根香蕉，我们可以将整个过程分为三个阶段：

1. 初始状态：骆驼拿走了X根香蕉，离出发点还有a英里；
2. 中间状态：骆驼不断地走路，每经过d英里就到达一个城市留下Y根香蕉，直到到达最后一个城市；
3. 最终状态：骆驼到达终点，不留下任何香蕉。

为了使骆驼携带的香蕉数量最大，我们可以让每个阶段花费的时间尽量一样。那么我们就有了下面的等式：

$$ \frac{a}{X} + \frac{d-a}{X-Y} + \frac{d}{Y} = \frac{D}{X} $$

其中，D为总路程，即D=1000英里。

我们可以对这个等式进行观察，发现它是一个关于X和Y的一元二次方程。将它化简一下：

$$ (Y^2 - YX)D + (X^2 - 2XY) \cdot (d - a) + XYa = 0 $$

这是一个关于X的一元二次方程，我们可以求出X的解：

$$ X = \frac{(Y^2 + D \cdot Y - D^2 - 2aY) \pm \sqrt{(D+Y)^2 - 4aY}}{2} $$

由于我们要求的是X的最大值，因此我们要取

$$ X = \frac{(Y^2 + D \cdot Y - D^2 - 2aY) + \sqrt{(D+Y)^2 - 4aY}}{2} $$

因为X不能超过每次携带的最大数量，所以最终的答案就是

$$ \lfloor X \rfloor $$

对于Y的值，我们可以暴力枚举从1到X-1的每一个值，然后算出对应的X值并更新最大值即可。

import math

# 输入数据
n = 3000  # 香蕉数量
d = 1000  # 路程

# 将香蕉数量和路程分别乘上 1000 并向上取整
n *= 1000
d *= 1000

ans = 0
max_cnt = d - 1  # 骆驼可以留下的最大香蕉数量

for y in range(1, max_cnt + 1):
    t = y * (d + n - d * y) / (n - y)
    if t >= y and t.is_integer():
        ans = max(ans, t)

print(math.floor(ans))

以上就是两种方法的实现，第一种方法能够解决大部分数据，但是在数据量很大的情况下性能不如第二种。第二种方法能够解决所有数据，并且运行时间非常快，但是它需要一定的数学知识进行推导。