概率事件的类型

在日常对话中，人们经常使用“今天可能会下雨”或“我很可能通过考试，因为考试不太难”或“很有可能，他会被选中”这样的陈述。在所有 3 个陈述中，都使用了可能、可能、最有可能等词，它们用于表示某事发生的概率或确定性。那么，如果文字可以传达某个事件的概率，为什么要整整一章来讨论概率呢？这是因为数学中的概率有助于确定事件发生的确切概率。例如，给出了 2 个陈述——“今天可能会下雨”和“今天有 70% 的机会下雨”，哪个陈述得出更好的结论？第二个陈述，因为它讲述了一个事件的详细概率。

可能性

数学中事件的概率是对该事件以数量发生的预测。概率可以定义为从 0 到 1 的比例，也可以表示为从 0 到 100% 的百分比。例如，会议有 0.8% 的机会推迟或会议有 80% 的机会推迟。总是为事件定义概率。事件可以有不同的类型，让我们了解一下它们是什么以及类型是什么，

活动

最简单的语言中的事件被定义为实验的结果，当实验完成时，实验的某些结果是预期的，预期的结果被称为概率事件。每次预期的结果会发生不是真的，有可能事件会发生，或者根本不会发生，概率实际上是对事件发生的度量。

样本空间

样本空间被定义为实验的所有可能结果的集合，一个事件是可能的结果之一，同样，一个实验可以有多个事件（结果）。因此，可以得出结论，事件是样本空间的子集。

活动类型

既然断定Events是Sample空间的子集，那么一个实验会有一个样本空间，但是一个实验可以有多个事件，需要注意的是事件也有不同的类型，我们来了解一下详细地，

• 独立活动

独立事件是指下一个结果独立于前一个结果的事件。这意味着，无论进行多少次相同的实验，事件发生的概率都将保持不变。

比如掷骰子，掷一次骰子得到偶数的概率是0.5，现在再次掷骰子，得到偶数的概率仍然只有0.5。这意味着，事件的概率与其先前的结果无关，这样的事件被称为独立事件。

• 相关事件

相关事件是下一个结果取决于先前结果的事件，这意味着事件的概率将根据其先前结果而改变。

比如我们从一个袋子里抽球的例子，一个袋子里有4个黑球和3个红球，抽了一个球，结果是黑色的（第一次抽到黑球的概率）是 4/7= 0.571。当下次抽球时，黑球出现的概率会发生变化，因为现在袋子里的球更少了（剩下 3 个黑球和 3 个红球），因此，概率获得黑球的概率为 3/6= 0.5。此类事件称为相关事件。

Note : In the example above, there is a way of converting this dependent event into independent event, it can be done through Replacement. If after each experiment the ball is again kept in the bag, the sample space of the experiment will not change and hence, the probability of the event will remain same too.

• 简单事件

任何包含来自样本空间的单个结果的事件都称为简单事件。

例如，掷骰子的样本空间 S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 以及获得小于 2 的事件 E= {1}，其中 E 具有从样本中获取的单个结果空间，因此该事件是一个简单事件。

• 复合事件

复合事件与简单事件正好相反，即任何包含多个来自样本空间的结果或多个点的事件，该事件称为复合事件。

例如，S={1, 2, 3, 4, 5, 6} 和 E= {3, 4, 5}，这里 E 是复合事件。

• 互斥事件

如果两个事件没有任何共同点，则称它们为互斥事件，互斥事件类似于互斥集合。

例如，S（样本空间）= {23, 25, 27, 29, 31}，E ₁ = {23, 25, 27} 和 E ₂ = {29, 31}，显然没有两个集合之间是共同的，因此，事件 E ₁和 E ₂是互斥事件。

• 与事件

AND 事件由两个或两个以上的事件获得，对事件进行的操作是 AND 操作，

例如，E1 = {2, 3, 4, 5} 和 E2 = {3, 4, 7, 8}

E = E1∩ E2 = {3, 4}

• 或事件

OR 事件是通过对两个或两个以上的事件进行 OR 运算获得的。

例如，E1 = {2, 3, 4, 5} 和 E2 = {3, 4, 5, 6}

E = E ₁ ∪ E ₂ = {2, 3, 4, 5, 6}

• 补充活动

互补事件被定义为在样本空间中存在除给定事件之外的其余元素的事件。

例如，S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 并且给定事件 E = {1, 2, 3}

补充事件将是，E' = {4, 5, 6, 7}

示例问题

问题 1：在 Ludo 游戏中掷骰子，E ₁表示得到偶数的事件，E ₂表示得到大于 3 的事件，找到以下事件的集合，

1. E ₁或 E ₂
2. E ₁和 E ₂

回答：

The sample space for the die will be,

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E₁ (only even numbers)= {2, 4, 6}

E₂ (number more than 3)= {4, 5, 6}

E₁ or E₂= {2, 4, 5, 6}

E₁ and E₂= {4, 6}

问题2：掷骰子，得到的样本空间的集合为，S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E ₁定义为获得小于 5 的数的事件，E ₂定义为获得大于 2 的数的事件。

找到以下的集合，

1. E ₁但不是 E ₂
2. E ₂但不是 E ₁

解决方案：

Sample space will be, S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E₁ (a number less than 5)= {1, 2, 3, 4}

E₂ (a number more than 2)= {3, 4, 5, 6}

1. E₁ but not E₂ = {1, 2}
2. E₂ but not E₁ = {5, 6}

问题 3：写出一次抛 3 个硬币的样例空间，同时回答 2 个正好 2 个正面的事件。

回答：

When one coin is tossed at a time, the sample space is {H, T} since either head or tail can occur as a result. However, when three coins are tossed at the same time, the combination of different possibilities may happen, Those possibilities together will be composed of a sample space,

Tossing three coins, S= {(H, H, H), (H, H, T), (H, T, H), (T, H, H), (T, T, H), (T, H, T), (H, T, T), (T, T, T)}

Hence, the sample space comprise 6 possible outcomes.

Event (E) for the occurrence of exactly two heads,

E= {(H, H, T), (H, T, H), (T, H, H)}

问题 4：命名从下面给出的实验中获得的事件类型，

1. 第5次抛硬币，前4次出现反面，结果为正面。
2. S（样本空间）= {1, 2, 3, 4, 5} 和 E= {4}
3. S= {1, 2, 3, 4, 5} 和 E= {2, 4}
4. S= {1, 2, 3, 4, 5}，E ₁ = {1, 2} 和 E ₂ = {3, 4}

回答：

1. No matter how many times the coin is tossed, every time the probability of getting a tail will be 0.5 irrespective of the previous outcomes, therefore the event will be an Independent event.
2. E= {4} is a Simple event.
3. E= {2, 4} is a compound event.
4. E₁ and E₂ are Mutually exclusive events.

问题 5：什么是不可能和确定的事件？

回答：

Impossible events are those which are never to be occurred, they are the null sets and are indicated as {}. The probability of an impossible event to occur is 0. Hence, there are no outcomes seen.

While, sure events are nothing but the entire sample space since the probability of the event to occur in this case is 1.

问题 6：一个实验的样本空间如下：

S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} 并且事件 E 被定义为所有偶数。 E. 的补充事件是什么？

回答：

S= {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}

E (all even numbers) = {10, 12, 14, 16}

E’ (complementary of E)= {11, 13, 15, 17}