相关事件和独立事件–概率

对于那些学习高等数学的人来说，概率论是一个重要的话题。例如，某些地区的天气预报说今天下雨的可能性为50％。概率是某些事件发生的机会。术语“事件”实际上是指一个或多个结果。事件表示可能发生的结果。总事件定义为与问题所要求的实验相关的所有可能发生的结果。同样，感兴趣的事件也被称为有利事件。

例如：

i) Obtaining a tail in a toss of a coin may be called an event.

ii) Getting a 4 on a roll of a die is said to be an event.

iii) Drawing a king from the deck of cards is also an event.

(iv) Getting a sum of 7 on the roll of a pair of dice is an event.

确定和不确定事件：

发生概率为100％的事件称为确定事件。发生此类事件的概率为1。在确定的事件中，整个样本实验中很可能会获得所需的输出。
另一方面，当没有事件发生的机会时，这种事件的可能性很可能为零。据说这是不可能的事情。

根据质量事件，这些事件可分为以下三种类型：

• 独立活动
• 相关事件
• 互斥事件

为了更好地理解相关事件和独立事件，让我们首先了解简单事件和复合事件

简单事件

具有样本空间单点的事件被称为概率中的简单事件。

事件发生的概率=有利结果的数量/总数结果的

例如：掷骰子时获得4的概率。

Here Sample Space = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

If E be the event of getting a 4 when a die is tossed. E = {4}

P(E) = 1/6

在简单事件的情况下，分子(有利结果的数量)将为1。

复合事件

如果一个事件有多个采样点，则称为复合事件。复合事件比简单事件要复杂一些。这些事件涉及在一起发生多个事件的可能性。复合事件所有结果的总概率等于1。

要计算概率，请使用以下公式：

首先，我们找到每个事件发生的概率。然后，我们将这些概率相乘。对于复合事件，分子(有利结果数)将大于1。

例如：在骰子上滚动一个奇数，然后在硬币上扔一条尾巴的概率

Here P(odd number) = 3/6 where favorable outcomes are  {1,3,5}

P(tail) = 1/2

Hence, required probability = (3/6)×(1/2) = 1/4

现在让我们来谈谈依赖和独立事件：

相关事件

依赖事件是受先前已经发生的事件的结果影响的那些事件。即，两个或多个相互依赖的事件称为依赖事件。如果一个事件偶然改变，那么另一事件可能会有所不同。

因此，如果一个事件是否发生确实影响另一事件将发生的概率，则称这两个事件是相关的。

例如：

假设要从一副纸牌中抽出三张纸牌。然后，在抽出第一张纸牌时获得国王的概率最高，而在抽出第二张纸牌时获得国王的概率则较小。在第三张牌中，该概率取决于前两张牌的结果。可以说，抽出一张牌之后，牌组中可用的牌减少了，因此概率趋于变化。

2.从标准的52张扑克牌中随机选择一张牌。如果不更换它，则选择第二张卡。选择的第一张卡是国王，第二张卡是皇后的概率是多少?

机率：

P(首选)= 4/52

P(第二顺位皇后给第一顺位国王)= 4/51

P(国王和王后)=(4/52×4/51)= 16/2652 = 4/663

它涉及两种化合物，即依赖事件。假设在第一顺位选择了国王，则在第二顺位选择皇后的概率称为条件概率

当一个事件的发生影响另一个后续事件的发生时，这两个事件是从属事件。相关事件的概念引起了条件概率的概念。

条件概率公式

If the probability of events A and B are P(A) and P(B) respectively then the conditional probability of B such that A has already occurred is P(A/B).

Given, P(A)>0,P(A/B) = P(A ∩ B)/P(A) or P(B ∩ A)/P(A)

P(A)<0 means A is an impossible event. In P(A ∩ B) the intersection denotes a compound probability.

样本问题

问题1：讲师的试题库包含300个简易T / F，200个困难T / F，500个简易MCQ，400个困难MCQ。如果从问题库中随机选择一个问题，那么鉴于这是一个MCQ，那么简单问题的概率是多少?

解决方案：

Let,

P(easy)= (300+500)/1400 = 800/1400 = 4/7

P(MCQ)= (400+500)/1400 = 900/1400 = 9/14

P(easy ∩ MCQ)= (500)/1400 =5/14

P(easy/MCQ) = P(easy ∩ MCQ)

                       = (5/14)/(9/14) =5/9

问题2：在装运的20个苹果中，有3个烂了。随机选择3个苹果。如果不更换第一个和第二个，三个零件都烂掉的概率是多少?

解决方案：

Probabilities: P(3 rotten) = (3/20 ×  2/19 × 1/18)= 6/6840 = 1/1140    

问题3：约翰必须从10名女孩和15名男孩中选出两名学生。两个学生都被选为男孩的概率是多少?

解决方案：

Total number of students = 10 + 15 =25

Probability of choosing the first boy, say P(Boy 1) = 15/25

P(Boy 2|Boy 1) = 14/24

Now,

P(Boy 1 and Boy 2) = P(Boy 1) and P(Boy 2|Boy 1)

                                = (15/25)×(14/24) = 7/20

独立活动

独立事件是指那些事件的发生不依赖于任何其他事件的事件。如果一个事件A的发生概率不受另一个事件B的发生影响，则称A和B为独立事件。

例子：

• 扔硬币。

在此，样本空间S = {H，T}，并且H和T都是独立的事件。

• 滚死。

样本空间S = {1,2,3,4,5,6}，所有这些事件也是独立的。

上面的两个例子都是简单的事件。甚至复合事件也可以是独立事件。例如：

• 抛硬币并掷骰子。

样本空间S = {(1，H)，(2，H)，(3，H)，(4，H)，(5，H)，(6，H)，(1，T)，(2， T，(3，T)，(4，T)(5，T)(6，T)}。

这些事件是独立的，因为一次只能发生一个。

考虑一个掷骰子的例子。如果A是事件“出现的数字大于3”，而B是事件“出现的数字是3的倍数”，则

P(A)= 3/6 = 1/2 here favorable outcomes are {4,5,6}

P(B) = 2/6 = 1/3 here favorable outcomes are {3,6}

Also, A and B is the event ‘the number appearing is odd and a multiple of 3’ so that  P(A ∩ B) = 1/6

P(A│B) = P(A ∩ B)/ P(B)

           = (1/6)/(1/3) = 1/2

P(A) = P(A│B) = 1/2, which implies that the occurrence of event B has not affected the probability of occurrence of the event A.
If A and B are independent events, then P(A│B) = P(A)

Using Multiplication rule of probability, P(A ∩ B) = P(B). P(A│B)

P(A ∩ B) = P(B). P(A)

注意： A和B是与同一随机实验相关的两个事件，如果P(A∩B)= P(B).P(A)，则将A和B称为独立事件。

Note: We can calculate the probability of two or more Independent events by multiplying

什么是互斥活动?

如果两个事件A和B不能同时发生，则称为互斥事件。互斥事件永远不会有共同的结果。

问题1：选择题测试包含两个问题。问题1有5个选项，问题2有4个选项。每个问题只有一个正确答案。随机猜出这两个问题的正确答案的概率是多少?

解决方案：

Here, the probability of correct answer of Problem1 = P(A)  and the probability of correct answer of Problem2 =P(A) are independent events. Thus

The probability of correct answer of Problem1 and Problem2 both = P(A ∩ B) =P(A). P(B)

                                                                                                                            =(1/5)*(1/4) = 1/20

问题2：如果掷两次骰子，找到获得两个3的概率。

解决方案：

P(getting 3 on first throw)=1/6

P(getting 3 on second throw)=1/6

P(two 3’s)=(1/6)*(1/6) =1/36

问题3：抛出两个骰子，一个为白色，一个为黑色。找到以下可能性：

a)黑色骰子的分数是3，白色骰子的分数是5。

b)白色骰子的分数是1，黑色骰子的分数是奇数。

解决方案：

a) Probability the black die shows 3 and white die 5 =   (1/6)*(1/6) = 1/36

b) Probability the white die shows 1 and black die shows an odd number = (1/6)*(3/6) =1/12