斐波纳契数的总和|套装2

简介

斐波纳契数列是指：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34......从第3项开始，每一项都等于前两项之和。该数列的性质很有趣，不仅被广泛运用于计算机科学，而且具有许多数学特征。本文介绍的是求斐波纳契数列前n项总和的一些套装方案。

方案一：暴力递归

我们可以使用递归函数求斐波纳契数列，不过这种方法十分低效，当n比较大时，递归深度会很大，导致程序崩溃或者运行缓慢。下面是该方案的代码示例（Python语言实现）：

def fib(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    return fib(n-1) + fib(n-2)

def fib_sum(n):
    res = 0
    for i in range(n):
        res += fib(i)
    return res

该代码的时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度也很高，难以应用于实际场景。

方案二：记忆化搜索

为了避免重复计算，我们可以使用记忆化搜索技术，将已经计算出来的结果存储在一个数组中，避免重复计算。下面是该方案的代码示例（Python语言实现）：

def fib(n, memo):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    if memo[n] != -1:
        return memo[n]
    memo[n] = fib(n-1, memo) + fib(n-2, memo)
    return memo[n]

def fib_sum(n):
    memo = [-1] * (n+1)
    res = 0
    for i in range(n):
        res += fib(i, memo)
    return res

该代码的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)，性能比方案一有了很大提升。

方案三：动态规划

动态规划是一种常用于优化递归算法的技术，通过将原问题分解为若干个子问题，分别求解这些子问题，再通过子问题的解得到原问题的解。下面是该方案的代码示例（Python语言实现）：

def fib_sum(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 0
    dp[1] = 1
    for i in range(2, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
    return sum(dp)

该代码的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)，性能比方案二还要高效。

方案四：优化空间的动态规划

由于在动态规划的实现中，我们只需要保存前两项的值，所以我们可以进一步优化空间复杂度，仅仅使用两个变量就能实现求解斐波纳契数列前n项总和。下面是该方案的代码示例（Python语言实现）：

def fib_sum(n):
    if n == 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    pre, cur = 0, 1
    for i in range(2, n+1):
        cur, pre = cur+pre, cur
    return cur

该代码的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，性能最高。

结语

本文介绍了4种不同的方法来求解斐波纳契数列前n项总和，包括暴力递归、记忆化搜索、动态规划和优化空间的动态规划。在实际开发中，我们应该根据实际情况选择最优的方案来解决问题。