长度收缩公式

爱因斯坦的狭义相对论指出，“以相对论速度运动的物体的长度沿运动维度发生收缩”。静止的观察者（相对于运动物体）会认为运动物体更短。从静止或静止的观察者参考系可以看出，物体长度确实是收缩的。物体的长度收缩完全取决于它相对于观察者的速度。下面讨论长度收缩的概念及其公式。

长度收缩

当物体以光速运动时，考虑长度收缩。结果，相对论进入了现场。结果，当一个物体以光速行进时，它会经历长度收缩。如果一个物体以光速行进并且与观察者相连，这表示为长度的减少。长度收缩仅发生在身体行进的方向上。

它是发生或现象；测量时发现移动物体的长度小于其适当长度，该长度是在物体自身的静止框架中测量的长度。这种收缩现象由 George FitzGerald (1889) 和 Hendrik Antoon Lorentz (1892) 提出。

但在 1905 年，阿尔伯特·爱因斯坦第一个证明这种收缩不需要通过假设的以太运动，而是可以用狭义相对论来解释。这个理论改变了我们对空间、时间和同时性的所有概念。要记住的非常重要的一点是，长度收缩不能在物体的静止帧中测量，而只能在观察到的物体运动的帧中测量。

公式

根据爱因斯坦的狭义相对论，两点之间的距离在不同的参考系中可以不同。我们正在测量的物体将在一个参考系中静止。这是正确的长度，它被称为$\Delta l_{0}$ .

$L = l_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

or

L = $\frac{L_0}{\gamma}$

where, 

• L is the length of an object with is in relativistic speed
• L₀ is the length of an object at rest
• c is the velocity of light $(3.0 \times 10^{^{8}}\frac{m}{s})$
• v is the velocity of the object
• γ = $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

示例问题

问题 1. 一个长度为 20 m 的物体以 0.65c 的速度行进。计算长度收缩。

解决方案：

Given: L₀ = 20 m, v = 0.65 c

The length contraction formula states that: L = $l_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Substitute the given values in the formula above. Then,

L =  $20\times\sqrt{1-\frac{(0.65c)^2}{c^2}}$

= 20 × √1- (0.65)²

L = 15.198 m

问题 2. 你怎么能用时间膨胀和长度收缩公式说 c 是宇宙中的极限速度？

解决方案：

The length contraction formula states that: L = $l_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.

The time dilation formula states that: $t=\frac{t_0}{{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}}$

If something moves at the speed of light, the length becomes 0 and the time becomes infinity. So, no signal or interaction can move faster than the speed of light because they will simply not be able to occur.

问题 3. 一辆 6.0 m 长的跑车必须以多快的速度从你身边经过才能让它看起来只有 5.5 m 长？

解决方案：

The length contraction formula can be written as: L = $\frac{L_0}{\gamma}$

where γ = $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Given: L₀ = 6 m, L = 5.5 m

Substitute these values in the above formula. Then,

$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{6}{5.5}\\{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{5.5}{6}\\({\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}})^2=(\frac{5.5}{6})^2\\v=0.399653c$

问题 4. 汽车和飞机存在时间膨胀和长度收缩等相对论效应。为什么这些影响对我们来说似乎很奇怪？

解决方案：

The speed of cars and airplanes is much less then the speed of light. And the realistic effects like time dilation and length contraction are most observable when the moving observer is moving with a speed that is very near to the speed of the light.

Hence such effects are almost miniscule for cars and airplanes as their speed is in comparable to that of light, hence they seem strange to us.

问题 5. 一个长度为 36 m 的物体以 0.45 c 的速度行进。计算长度收缩。

解决方案：

Given: L0 = 36 m, v = 0.45 c

The length contraction formula states that: $L = l_{0}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Substitute the given values in the formula above. Then,

L = $36\times\sqrt{1-\frac{(0.45c)^2}{c^2}}$

= 36 × √1- (0.45)²

L = 32.149 m