等价关系是自反的、对称的和传递的。在计算集合 |A|=n 上可能的等价关系的数量之前，让我们看一个等价关系的例子并识别其中的等价类。
设 A = {1, 2, 3, 4} 是一个集合，R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), ( 3, 4), (4, 3), (4, 4)} 是 A 上的等价关系。我们在这里看到总关系 T = {(1, 1), (1, 2), (1, 3 ), (1, 4)} 在集合 C1 = {1, 2} 上，这是 A 的子集存在于 R 中，即 R 的子集。并且在集合 C1 上也没有这样的总关系 T’>=T ‘>=C1 存在于 R 中，即 R 的子集。因此我们在关系 R 上找到了一个等价类 E1 = {1, 2}。
类似地，在 R 上还有另一个等价类 E2 = {3, 4}。R 中不再存在这样的等价类。注意这里 E1 和 E2 是不相交的集合，这总是正确的，因为 {E1, E2} 即 {{ 1, 2}, {3, 4}} 是集合 A 的可能划分之一。
因此上面的等价关系 R 对应于集合 A 的分区 {{1, 2}, {3, 4}}。类似地，A 上的每一个等价关系都对应于 A 的一个分区。实际上这个映射是双射的.
现在我们来解决我们的问题，即在等于 A 的分区数的有限集合上找到可能的等价关系的数量。贝尔数计数相同。从 B0 = B1 = 1 开始，前几个贝尔数是：
1，1，2，5，15，52，203，877，4140，21147，115975，678570，4213597，27644437，190899322，1382958545，10480142147，82864869804，682076806159，5832742205057，…等
这是构建的三角形的前五行：
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
贝尔数字出现在三角形的左右两侧。
示例 –有五个 4 的整数分区： 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 。所以我们只需要计算将我们集合的四个元素放入这些大小的 bin 的方法数量。
4
只有一种方法可以将四个元素放入大小为 4 的 bin 中。这表示只有一个等价类(包含所有内容)的情况，因此等价关系是总关系：一切都与一切相关。
3+1
有四种方法可以将四个元素分配到一个大小为 3 的 bin 和一个大小为 1 的 bin 中。对应的等价关系是其中一个元素仅与自身相关，而其他元素都彼此相关。显然有 4 种方法可以选择该显着元素。
2+2
有 (42)/2=6/2=3(42)/2=6/2=3 种方式。我们在这里看到的等价关系是其中两个元素相互关联，而另外两个元素与其自身相关的等价关系。所以，从选择一个元素开始，比如 1。然后 1 可能与三件事有关。一旦选择了该元素，就完全确定了等价关系。
2+1+1
有 (42)=6(42)=6 种方式。
1+1+1+1
只是一种方式。这就是身份等价关系。
因此，在 {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4} 上总共有 1+4+3+6+1=15 个分区，因此有 15 个等价关系。
注意 –这种计数参数可能非常棘手，或者至少不雅，尤其是对于大型集合。没有直接的公式可以做到这一点。