Bezout 的身份（Bezout 引理）

让一个 和b 是任何整数， g是a和b 的最大公约数。那么，存在整数x和y使得ax + by = g …(1) 。

$ax+by = g$
$g=gcd(a, b)$

满足上述等式的对(x, y)不是唯一的。但是，可以计算所有可能的解决方案。

我们可以找到x’ 和y’使用欧几里得算法满足(1)。 (1) 的所有可能解由下式给出，

$x=x'+ \dfrac{b}{g} k$
$y=y'- \dfrac{a}{g} k$
$k \in \Z$

其中k是任意整数。

很容易理解为什么会这样。只需插入 (1)的解决方案即可获得直觉。

此外，重要的是要看到对于形式的一般方程，

$ax+by=u$

u=gcd(a, b)是 ax+by=u具有 x和y整数值解的最小正整数。

Statement:  If gcd(a, c)=1 and gcd(b, c)=1, then gcd(ab, c)=1.

Proof: 

Above can be easily proved using Bezout’s Identity.

ax+cy=1 and bu+cv=1

Multiply the above two equations,

(ax+cy)(bu+cv)=1

The above implies,

ab(ux)+c(axv+buy+cyv)=1

1 is the only integer dividing L.H.S and R.H.S .

Hence, gcd(ab, c) = 1.

参考：

https://brilliant.org/wiki/bezouts-identity/

https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity