数学 |均值、方差和标准差

平均值是给定数据集的平均值。让我们考虑下面的例子

$2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9$

这八个数据点的平均值(平均值)为 5：

$\frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = 5.$

$Formula : \mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}$

其中 μ 是均值，x ₁ , x ₂ , x ₃ …., x _i是元素。另请注意，均值有时表示为$\bar{x}$

方差是所有数字和平均值之间差异的平方和。
上面例子的偏差。首先，计算每个数据点与均值的偏差，并对每个数据点的结果求平方：

$\begin{array}{lll} (2-5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (5-5)^2 = 0^2 = 0 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7-5)^2 = 2^2 = 4 \\ (4-5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9-5)^2 = 4^2 = 16. \\ \end{array}$

方差 =

$\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8}$ = 4。

$Formula: \sigma^{2}= \frac { \sum_{i=1}^{N} (x_{i}-\mu)^{2}}{N}$

其中 μ 是平均值，N 是元素总数或分布频率。

标准偏差是方差的平方根。它是对数据偏离均值的程度的度量。

标准偏差(对于上述数据)= $\sqrt{ 4 }$ = 2

为什么数学家选择平方然后开平方来求偏差，为什么不简单地取值的差异呢?
原因之一是根据均值的定义，差值之和变为 0。绝对差的总和可能是一种选择，但是对于绝对差，很难证明许多很好的定理。 [来源：麻省理工学院视频讲座 1:19]

$\textup{Coefficient of variation } =\frac{ \textup{Standard deviation}}{Mean}*100$

1. 如果输入中的所有条目都相同，则标准偏差值为 0。
2. 如果我们对输入集中的所有值加上(或减去)一个数字，比如 7，则平均值会增加(或减少)7，但标准偏差不会改变。
3. 如果我们将输入集中的所有值乘以数字 7，则均值和标准差都乘以 7。但是如果我们将所有输入值与负数相乘，比如 -7，则均值乘以 -7，但是标准差乘以 7。
4. 标准偏差和方差是一种衡量数字分布情况的指标。虽然方差可以让您大致了解散布，但标准差更为具体，可以为您提供与均值的精确距离。
5. 均值、中位数和众数是数据集中趋势的度量(分组或未分组)。

以下问题已在去年的 GATE 考试中提出
https://www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2012-question-64/

参考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation
http://staff.argyll.epsb.ca/jreed/math30p/statistics/standardDeviation.htm