sin (z) = 2, z 是否有任何可能的根？

出现了一个问题，如果 sin (z) = 2，z 是否有任何可能的根。首先想到的答案是没有这样的根是可能的，如

-1 ≤ sin θ ≤ 1

但是如果我们深入研究，我们会发现虽然 z 没有实根是可能的，但只有虚(或复)根是可能的。

所以，让我们找到解决方案：

根据欧拉形式：

eiθ = cosθ + i*sinθ
 where, e = base of the natural logarithm
        i = imaginary part , ( i = √(-1) )
        θ = the angle in radian

所以在上面的公式中，代入∅ = z

于是，方程变为

e ^iz = cos z + i sin z —–( i )

现在，把 z = -z

e ^i(-z) = cos(-z) + i sin(-z)

e ^-iz = cos z – i sin z —–( ii ) [ cos(-θ) = cosθ , sin(-θ) = -sinθ ]

现在，将方程 ( i ) 减去 ( ii )

e ^iz – e ^-iz = (cos z + i sin z) – (cos z – i sin z)

e ^iz – e ^-iz = 2i sin z

e ^iz – e ^-iz = 2i *(2) [因为，sin z = 2 (given) ]

e ^iz – 1/e ^iz = 4i

将等式两边同时乘以 e ^iz

e ^2(iz) – 1 = 4i e ^iz

e ^2(iz) – 4i e ^iz – 1 = 0

现在，让 y = e ^iz

y ² – 4iy – 1 = 0

现在，要在上述二次方程中找到 y 的根，我们应用Dharacharya 公式，该公式表示：

A quadratic equation of the form ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
then roots of x are, x = (-b ± √(b2-4ac)/2a

因此，在上述等式中应用 Dharacharya 公式，

y = ( 4i ± √(16i ² + 4 ) ) / 2

y = ( 4i ± √(-16 + 4 ) ) / 2 [i ² = -1]

y = ( 4i ± √(-12) ) / 2

y = ( 4i ± 2√3i ) / 2 [√(-12) = √(-1*12) = √(-1)*√12) = i * 2√3, 因为√(-1) = i ]

y = 2i ± √3i

现在，将 y = e ^iz的值放回上式

e ^iz = 2i ± √3i

e ^iz = i * (2 ± √3)

现在，两边取 log(ln)

iz = ln(i) + ln(2 ± √3) —–( iii ) [ln(e ^a ) = a, ln(a*b) = ln(a) + ln(b)]

现在为了解决 ln(i)，我们必须理解以下概念：

In polar representation of complex numbers, we write z = reiθ, where
z = a + ib, 
r = |a2 + b2| 
θ = tan-1(b/a),
So, taking log on both sides of the equation z = reiθ  
ln(z) = ln(r) + iθ             [ln(ea) = a, and ln(a*b) = ln(a) + ln(b)]
Putting the value of z, r and θ in the above equation
ln(a+ib) = ln(|a2 + b2|) + i*tan-1(b/a)

所以，写出 ln(i) = ln(0 + 1i)，并应用上面的公式

ln(0+1i) = ln( |0 ² + 1 ² | ) + i*tan ^-1 (1/0)

ln(i) = ln1 + i*∏/2 [ tan ^-1 (1/0) = tan ^-1 (∞) = ∏/2 ]

ln(i) = i*∏/2 [ ln1 = 0 ]

现在将 ln(i) 的值放入方程 (iii)

iz = i*∏/2 + ln(2 ± √3)

等式两边除以 i

z = ∏/2 + ln(2 ± √3)/i

z = ∏/2 + ( ln(2 ± √3) * i )/ ( i * i) [分子和分母除以 i]

z = ∏/2 – i * ln(2 ± √3) [i ² = -1]

z = ∏/2 – i * ln(2 ± √3)

所以，我们得到了一个复杂的根，但还有更多，

as sin (θ ± 2n∏) = sin θ , n = 1,2,3,..

所以，

z = ∏/2 – i * ln(2 ± √3) ± 2n∏ , n = 1,2,3,….

因此，现在我们得到对于 sin(z) = 2，z 有无穷多个复根。