📜  条件概率的贝叶斯定理

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:54:47             🧑  作者: Mango

我们强烈建议参考下面的帖子作为先决条件。

条件概率

贝叶斯公式
下面是贝叶斯公式。
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}

该公式提供了 P(A|B) 和 P(B|A) 之间的关系。它主要来源于上一篇文章中讨论的条件概率公式。
考虑以下条件概率 P(A|B) 和 P(B|A) 的公式
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} —-(1)

P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} —-(2)

由于 P(B ∩ A) = P(A ∩ B),我们可以将第一个公式中的 P(A ∩ B) 替换为 P(B|A)P(A)

替换后,我们得到给定的公式。

产品规则

产品规则规定

(1)                   \begin{equation*}  P(X \cap Y) = P(X|Y)*P(Y)   \end{equation*}

所以 X 和 Y 都会出现的联合概率等于两项的乘积:

从产品规则:
X \subseteq Y 意味着P(X|Y) = P(X)/P(Y)
Y \subseteq X 意味着P(X|Y) = 1

链式法则

当上述乘积规则被推广时,我们导致链式规则。让有E_{1}, E_{2},....E_{n} n 事件。然后,联合概率由下式给出

(2)   \begin{equation*} P(\bigcap_{i=1,..,n}E_{i}) = P(E_{n}|\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i})*P(\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i}) \end{equation*}

贝叶斯定理

从产品规则来看,  P(X \cap Y) = P(X|Y)P(Y)  P(Y \cap X) = P(Y|X)P(X) .作为 P(X \cap Y)  P(Y \cap X) 是一样的。

(3)    \begin{equation*}  P(Y|X) = \frac{P(X|Y)*P(Y)}{P(X)}   \end{equation*}

在哪里 P(X) = P(X \cap Y) + P(X \cap Y^{c}) .

示例:框 P 有 2 个红球和 3 个蓝球,框 Q 有 3 个红球和 1 个蓝球。一个球的选择如下:

(i)  Select a box
(ii) Choose a ball from the selected box such that each ball in
     the box is equally likely to be chosen. The probabilities of
     selecting boxes P and Q are (1/3) and (2/3), respectively.  

假设在上述过程中选择的球是红球,它来自盒子 P 的概率是 (GATE CS 2005)
(一) 4/19
(乙) 5/19
(C) 2/9
(四) 19/30

解决方案:

R –> 选择红球事件 B –> 选择蓝球事件 P –> 选择框 P 的事件 Q –> 选择框 Q 的事件 我们需要计算 P(P|R) ? P(P|R) = \frac{P(R|P)P(P)}{P(R)} P(R|P) = 从盒子中选出的一个红球 P = 2/5 P(P) = 1/3 P(R) = P(P)*P(R|P) + P(Q)*P( R|Q) = (1/3)*(2/5) + (2/3)*(3/4) = 2/15 + 1/2 = 19/30 将以上值放入贝叶斯公式 P(P |R) = (2/5)*(1/3) / (19/30) = 4/19

练习一家公司从 X 公司购买 70% 的计算机,从 Y 公司购买 30%。X 公司每 5 台计算机生产 1 台故障计算机,Y 公司每 20 台计算机生产 1 台故障计算机。一台电脑被发现有问题,它是从 X 公司购买的概率是多少?