化简 y = sin 4x cos4x

数学中的代数表达式可以说是由变量和常数以及加减法等代数运算组成的表达式。表达式由项组成。代数表达式是在未知变量、常数和系数的帮助下表示的。这三个（作为术语）的组合称为表达式。值得一提的是，与代数方程不同，代数表达式没有边或等于符号。

代数表达式的类型

有 3 种主要类型的代数表达式，即单项式代数表达式、二项式代数表达式和多项式代数表达式。让我们看看他们的定义，

• 单项式：只有一项的代数表达式称为单项式。

示例： 3x ^4、3xy 、3x、8y 等。

• 二项式表达式：二项式表达式是一种代数表达式，它包含两个不同的项，即彼此不同的项。

示例： 5xy + 8xyz、9x – 7xy 等。

• 多项式表达式：多项式表达式定义为具有多个项且变量的非负整数指数的表达式。

示例： ax + by + ca、x ³ + 2x + 3 等。

其他类型的表达

除了单项式、二项式和多项式类型的表达式，代数表达式还可以分为两种附加类型：

• 数值表达式：它由数字和运算组成，但从不包含任何变量。例如 10 + 5、15 ÷ 2 等。
• 变量表达式：它是一个表达式，其中包含变量以及用于定义表达式的数字和操作。 示例包括 4x + y、5ab + 33 等。

一般代数公式

1. (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²
2. (a – b) ² = a ² – 2ab + b ²
3. a ² – b ² = (a – b)(a + b)
4. (a + b) ³ = a ³ + b ³ + 3ab(a + b)
5. (a – b) ³ = a ³ – b ³ – 3ab(a – b)
6. a ³ – b ³ = (a – b)(a ² + ab + b ² )
7. a ³ + b ³ = (a + b)(a ² – ab + b ² )

化简：y = sin 4x × cos4x

解决方案：

y = 1/2 sin(8 x)

y = 1/4 i e^{(-8 i x)} – 1/4 i e^{(8 i x)}

y = 4 sin(x) cos⁷(x) – 28 sin³(x) cos⁵(x) + 28 sin⁵(x) cos³(x) – 4 sin⁷(x) cos(x)

y = 16 sin(π/4 – 2 x) sin(π/4 – x) sin(x) sin(x + π/4) sin(2x + π/4) cos(x)

示例问题

问题1：代数表达式是多项式吗？

回答：

No, not all the algebraic expressions are polynomials. But we can say that all polynomials are algebraic expressions. The only difference is polynomials include only variables and coefficients with mathematical operations(+, -, ×) but algebraic expressions include irrational numbers in the powers as well.

Also, is there one factor, polynomials are continuous function (eg: x² + 2x + 1) but algebraic expression may not be continuous sometimes (eg: 1/x² – 1 is not continuous at 1).

问题 2：什么是相似和不相似的术语？

回答：

1. Like Term: The terms having the same algebraic factors are known as like terms.
2. Unlike Term: The terms having different algebraic factors are known as, unlike terms.

问题 3：简化：12m ² – 9m + 5m – 4m ² – 7m + 10。

解决方案：

12m² – 9m + 5m – 4m² – 7m + 10

= (12 – 4)m² + (5 – 9 – 7)m + 10

= 8m² + (-4 – 7)m + 10

= 8m² + (-11)m + 10

= 8m² – 11m + 10.

问题 4：求单项式 7 的次数？

解决方案：

The degree of any constant term is zero (0). So, the degree of the monomial 7 is 0.