三角形的性质

三角形是多边形的最简单形式。单词“ Tri”表示三个，因此具有3个角度的图形是一个三角形，并且它是在相互交叉的三线段的帮助下形成的，一个三角形具有3个顶点，3个边和3个角度。三角形的形状在现实生活中也非常有用，例如木工，天文学，街道招牌等。

三角形上有几个属性可以证明许多应用的合理性，对于定理非常有用。

三角形的属性：

• 角度总和属性：所有三个内角的总和始终为180°。所以。在上面所示的三角ΔABC，∠A+∠B+∠C= 180°，三角形的内角将大于0°且小于180°。
• 三角形具有3个边，3个顶点和3个角度。
• 外角属性：三角形的外角等于“内”对角和非“内”角之和(也称为“远端内角”)。在上面显示的ΔABC中， ∠ACD=∠ABC+∠BAC
• 三角形的任意两个边的长度总和始终大于第三个边。例如，AB + BC> AC或BC + AC> AB。
• 与最大角度相反的一侧是三角形的最大一侧。例如，在直角三角形中，与90°相反的一侧是最长的一侧。
• 图形的周长由图形所覆盖的总长度定义。因此，三角形的周长等于三角形所有三个边的长度之和。 ΔABC的周长=(AB + BC + AC)
• 任何两侧的长度之差始终小于第三侧。例如，AB-BC
• 对于相似的三角形，两个三角形的角度必须彼此相等，并且各自的边应成比例。
• 三角形面积：1/2×基数×高度

三角形的分类

三角形的分类基于以下特征进行：

1. 根据双方的特点。
2. 基于角度的特征。

基于边的三角形分类

等边三角形

在等边三角形中，所有三个边彼此相等，并且等边三角形的所有三个内角均相等。

由于所有内角均相等，并且三角形的所有内角之和为180°(三角形的属性之一)。我们可以计算出等边三角形的各个角度。

∠A+∠B+ = C = 180°

∠A=∠B=∠C

因此， 3∠A= 180°

∠A= 180/3 = 60°

因此，∠A=∠B=∠C= 60°

等边三角形的属性：

• 各方平等。
• 所有角度均相等且等于60°
• 等边三角形中存在三条对称线
• 角平分线，高度，中线和垂直线都相同，在这里是AE。
• 正交中心和质心相同。

等腰三角形

在等腰三角形中，两个边相等，并且与该边相反的两个角度也相等。可以说，任何两个方面都是一致的。

等腰三角形的特性：

• 等腰三角形的两个边总是相等的
• 第三边称为三角形的底边，高度是从底边到相反的顶点计算得出的
• 两个相等侧的相反角度也彼此相等。

不等边三角形

在Scalene三角形中，所有边和所有角度都不相等。想象一下随机绘制一个三角形，且其边均不相等，所有角度也互不相同。

斜角三角形的属性：

• 双方都不相等。
• 斜角三角形的内角都不同。
• 不存在对称线。
• 看不到对称点。
• 本质上，内角可以是锐角，钝角或直角(这是基于角度的分类)。
• 最小的一侧与最小的角度相对，最大的一侧与最大的角度相对(一般属性)。

基于角度的三角形分类

锐角三角形

在“锐角三角形”中，所有角度均大于0°且小于90°。因此，可以说所有3个角度本质上都是锐角(角度小于90°)

锐角三角形的属性：

• 所有内角在侧面各不相同时始终小于90°。
• 从基点到相反顶点的线始终是垂直的。

钝角三角形

在钝角三角形中，三个侧面之一将始终大于90°，并且由于所有三个侧面的总和为180°，因此两个侧面的其余部分将小于90°(角度和属性)。

钝角三角形的属性：

• 三个角度之一始终大于90°。
• 其余两个角度的总和始终小于90°(角度总和属性)。
• 钝角的圆周和正中心位于三角形的外部。
• 中心和质心位于三角形内部。

直角三角形

当三角形的一个角度正好为90°时，该三角形称为“直角三角形”。

直角三角形的属性：

• 直角三角形必须具有一个完全等于90°的角度，它可以是斜角或等腰，但由于一个角度必须为90°，因此，它永远不能是等边三角形。
• 与90°相反的一侧称为斜边。
• 与90°相邻的一侧为底边和垂直边。
• 毕达哥拉斯定理：这是直角三角形的特殊属性。它指出斜边的平方等于底边和垂直边的平方之和，即AC ² = AB ² + BC ²

三角形性质的样本问题

问题1：在三角形中。 ∠ACD= 120°，∠ABC= 60°。找到三角形的类型。

解决方案：

In the above figure, we can say, ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (Exterior angle Property)

120° = 60° + ∠BAC

∠BAC = 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠C OR ∠ACB = 60°

Since all the three angles are 60°, the triangle is an Equilateral Triangle.

问题2：下图中的三角形具有上述边的长度。找到三角形的面积和周长。

解决方案：

In the figure shown, we know the length of all the sides and therefore,

The perimeter of the triangle = (5 + 5 + 6) = 16cms

In order to find the area of the triangle, we need to find out the height of the triangle.

Applying Pythagoras to find out the height of the triangle,

H² = (5²– 3²) = 16

H = 4cms

Therefore, the area of Triangle ABC = 1/2×4×5 = 10cm²

问题3：说明为什么直角三角形在本质上永远不会是等边的?

回答：

A Right angled Triangle has one of its angles equal to 90°, and the rest of the angles are less than 90° [since the sum of all angles of a triangle is 180]. While in an equilateral triangle, all the interior angles are equal and are equal to 60° which is not possible for a right-angled triangle. 

Even if an angle is considered to be 60°, since one angle is already 90°, the third will become 30°.

Therefore, it is not possible for an equilateral triangle to be a right-angled triangle.

问题4：在直角三角形中，∠ACB= 60°，并且底边的长度为4cm。找到三角形的区域。

解决方案：

Using Trigonometric formula of Tan60°,

Tan60° = AB/BC = AB/4

AB = 4√3cm

Area of Triangle ABC = 1/2 = 1/2×4×4√3 = 8√3cm²

问题5：如果ΔA+∠B= 55°，则在ΔABC中。 ∠B+∠C= 150°，是否另求角度B?

解决方案：

The angle sum Property of a Triangle says ∠A+ ∠B+ ∠C= 180°

Given: ∠A+ ∠B= 55°

∠B+ ∠C= 150°

Adding the above 2 equations,

∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C= 205°

180°+ ∠B= 205°

∠B = 25°