产品规则–衍生产品| 11年级数学

导数是函数相对于变量的变化率。导数具有很多规则，例如幂规则，商规则，乘积规则等。它们也有助于解决非常复杂的问题。衍生物和微分的确与高级概念一起出现在更高的研究中。

在这里，我们将研究什么是乘积规则，以及如何在公式的帮助下使用它。

什么是产品规则?

当采用两个或多个函数的导数时，将应用乘积规则。它有助于区分指定功能中的两个或多个函数。

莱布尼兹的微分符号

导数f记为d / dx * f(x)。因此，当方程为y = f(x)时，导数称为dy / dx。因此，这里d / dx表示关于x的微分。它还表示不使用诸如y²之类的因变量的任何给定函数的导数都可以表示为d / dx *y²。与牛顿和拉格兰奇的表示法相比，这是最常用的派生表示法。

公式的推导

让我们采用两个函数a(x)和b(x)。因此，产品统治到来，当你乘的第一函数(X)与导数的第二函数B(X)加上第一函数(X)乘以第二函数B(X)的衍生物。所以，

(ab)’= a’b + ab’

我们可以通过使用导数的基本定义来证明导数乘积规则。考虑到参数的变化是Δx，我们可以发现函数ab的增加：

 Δ(ab) = a(x + Δx)b (x + Δx) – a(x)b(x) 

Taking into consideration  

a(x + Δx) = a(x) +  Δa, b(x + Δx) = b(x) + Δb,  

Δa和Δb是函数a和b的增量。忽略函数b和a的x的参数的简洁性，我们可以将增量Δ(ab)记为：

Δ(ab) = (a + Δa)( b + Δb) – ab = ab + aΔb + bΔa + ΔaΔb – ab

= aΔb + bΔa + ΔaΔb.

By using properties of limit we can find the derivative of product  

(ab)` = limΔx→0  Δ(ab)/Δx 

= limΔx→0  (aΔb + bΔa + ΔbΔa)/Δx 

= limΔx→0 aΔb /Δx +  limΔx→0  bΔa/Δx +  limΔx→0⁡ Δa/Δx . limΔx→0⁡ Δb.

函数a不取决于Δx的增加。因此，它被带到极限符号之外。 b也是如此。我们可以分别计算极限limΔx→0Δb

limΔx→0⁡ Δb =  limΔx→0  {(Δb/Δx) . Δx }

                    = limΔx→0 ( Δb )/Δx.  limΔx→0 Δx 

                    = b`.0 = 0.

因此，该产品的导数由下式给出：

(ab)′ =  limΔx→0 aΔb /Δx  +    limΔx→0 ( bΔa )/Δx + limΔx→0 Δa/Δx  ⋅ limΔx→0⁡ Δb

        = a limΔx→0 Δb /Δx + b  limΔx→0⁡ Δa/Δx  + limΔx→0 Δa/Δx⋅ limΔx→0 Δb  

        =  ab′ + ba′ + a′⋅0 = a′b + ab′.  

从上面的公式可以很容易地得出zf(x)的推导，其中z是常数：

(z f(x))’= z’ f(x) + z f’(x) = 0.f(x) + z f’(x) = z f’(x)  

导出两个函数的乘积

在这里，我们将以一个示例来了解如何应用乘积规则来推导两个函数的乘积。

(x ² + x)(3x + 5)=的导数

解决方案：

因此，现在使用乘积规则公式f’(x)= X(x)* Y’(x)+ Y(x)* X’(x)，我们将放置所需的值。

所以在这里，我们的第一个函数X为(x ² + x)，而第二个函数Y为(3x + 5)

因此，将第一个函数的导数乘以第二个导数，然后将其与第一部分的导数乘以第二个函数相加。

看起来像

(x² + x)'(3x + 5) + (x² + x)(3x + 5)’,

= (2x + 1)(3x + 5) + (x² + x)(3),

Now multiply everything

=6x² + 10x + 3x + 5 + 3x² + 3x

So, now the final outcome is

=9x²+ 16x + 5

有时，学生在计算产品规则时会感到困惑。他们通过计算导数的乘积来误解它。但是这种方式的答案是不正确的。让我们通过相同的示例使您理解。

假设您计算给定函数的导数的乘积

d/dx(x² + x) * (3x + 5),

= d/dx (x² + x) d/dx(3x + 5)  

= (2x + 1) * (3)

= 6x + 3

So here the answer is 6x + 3 which is not the same as 9x² + 16x + 5

产品规则样本问题

问题1：令y = cos ² x。通过使用乘积规则来区分此函数。

解决方案：

We can represent the function as  

y(x) = cosxcosx .   

By using product rule,

y′(x)= (cosx cosx)′ = (cosx)′cosx + cosx(cosx)′.

Since (cosx)′ = -sinx, we obtain

y′(x) = -sinxcosx + cosx(-sinx) = -2sinxcosx = -sin2x

问题2：求函数y = e ^x sinx的导数

解决方案：

By applying product rule

y′(x) = (e^xsinx)′ = (e^x)′sinx + e^x(sinx)′ 

       = e^xsinx + e^x(cosx)

       = e^x(sinx + cosx).

问题3：找到函数y = xsinx的导数。

解决方案：

By the product rule we obtain:

y′(x) = (x sinx)′ = (x)′sinx + x (sinx)′ 

= sinx + x cosx 

问题4：求函数y = x(1 + x)的导数。

解决方案：

By applying  product rule:

y'(x) = {x(1 + x)}’ = x'(1 + x) + x(1 + x)’ 

       = (1 + x) + x(0 + 1) 

       = 1 + 2x  

在现实世界中的应用

导数和微分的确有助于解决许多现实问题，从而提供了简单的解决方案。为了达到利润，损失，人口，材料成本等的最大值和最小值，可以使用产品规则公式来确定。