Class 11 RD Sharma解决方案–第29章限制–练习29.5 |套装1

评估以下限制：

问题1 $\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 5 2}-(a+2)^{\frac 5 2}} {x-a}$

解决方案：

$\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 5 2}-(a+2)^{\frac 5 2}} {x-a}$

$=\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 5 2}-(a+2)^{\frac 5 2}} {(x+2)-(a+2)}$

Let y = x + 2 and b = a + 2

$=\lim_{y \to b} \frac {(y)^{\frac 5 2}-(b)^{\frac 5 2}} {(y)-(b)}$ 

$=\frac 5 2 b^{{\frac 5 2} -1}$ [using formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$]

$=\frac 5 2 (a+2)^{{\frac 5 2} -1}$

$=\frac 5 2 (a+2)^{\frac 3 2}$

问题2。 $\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 3 2}-(a+2)^{\frac 3 2}} {x-a}$

解决方案：

$\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 3 2}-(a+2)^{\frac 3 2}} {x-a}$

$=\lim_{x \to a} \frac {(x+2)^{\frac 3 2}-(a+2)^{\frac 3 2}} {(x+2)-(a+2)}$

Let y=x+2 and b=a+2

$=\lim_{y \to b} \frac {(y)^{\frac 3 2}-(b)^{\frac 3 2}} {(y)-(b)}$

$=\frac 3 2 b^{{\frac 3 2} -1}$ [using formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$]

$=\frac 3 2 (a+2)^{{\frac 3 2} -1}$

$=\frac 3 2 (a+2)^{\frac 1 2}$

问题3。 $\lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^{6}-1} {(1+x)^2-1}$

解决方案：

$\lim_{x \to 0} \frac {(1+x)^{6}-1} {(1+x)^2-1}$

Dividing the numerator and denominator with 1+x-1

$=\lim_{x \to 0} \frac {\frac {(1+x)^{6}-1^6} {1+x-1} } {\frac {(1+x)^{2}-1^2} {1+x-1}}$

Let y=1+x as $x \to 0,y\to 1$

$=\lim_{y \to 1} \frac {\frac {y^{6}-1^6} {y-1} } {\frac {y^{2}-1^2} {y-1}}$

$=\frac {6(1)^{6-1}} {2(1)^{2-1}}$ [using formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$]

$=\frac 6 2$

$=3$

问题4。 $\lim_{x \to a} \frac {x^{\frac 2 7}-a^{\frac 2 7}} {x-a}$

解决方案：

$\lim_{x \to a} \frac {x^{\frac 2 7}-a^{\frac 2 7}} {x-a}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$, here, $n=\frac 2 7$

$=\frac 2 7a^{{\frac 2 7}-1}$

$=\frac 2 7 a^{\frac {-5} {7}}$

问题5 $\lim_{x \to a} \frac {x^{\frac 5 7}-a^{\frac 5 7}} {x^{\frac 2 7}-a^{\frac 2 7}}$

解决方案：

$\lim_{x \to a} \frac {x^{\frac 5 7}-a^{\frac 5 7}} {x^{\frac 2 7}-a^{\frac 2 7}}$

Dividing the numerator and denominator with x-a

$=\lim_{x \to a} \frac { \frac {x^{\frac 5 7}-a^{\frac 5 7}} {x-a}} {\frac {x^{\frac 2 7}-a^{\frac 2 7}} {x-a}}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$, here, $n=\frac 5 7$ in numerator and $n=\frac 2 7$ in denominator 

$=\frac {\frac 5 7a^{{\frac 5 7}-1}} {\frac 2 7a^{{\frac 2 7}-1}}$

$=\frac {\frac 5 7a^{\frac {-2} 7}} {\frac 2 7a^{\frac {-5} 7}}$

$=\frac 5 2a^{\frac {-2} {7} + \frac {5} {7}}$

$=\frac 5 2a^{\frac {3} {7}}$

问题6。 $\lim_{x \to {\frac {-1} 2}} \frac {8x^3+1} {2x+1}$

解决方案：

$\lim_{x \to {\frac {-1} 2}} \frac {8x^3+1} {2x+1}$

$=\frac 8 2\lim_{x \to {\frac {-1} 2}} \frac {x^3+{(\frac 1 2)}^3} {x+\frac 1 2}$

$=4\lim_{x \to {\frac {-1} 2}} \frac {x^3-{(-\frac 1 2)}^3} {x-(-\frac 1 2)}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$ here, $n=3$and $a=\frac {-1} {2}$

$=4 \times 3(\frac {-1} 2)^{3-1}$

$=4 \times 3 \times \frac 1 4$

$=3$

问题7。 $\lim_{x \to 27} \frac {({x^{\frac 1 3}+3})({x^{\frac 1 3}-3})} {x-27}$

解决方案：

$\lim_{x \to 27} \frac {({x^{\frac 1 3}+3})({x^{\frac 1 3}-3})} {x-27}$

$=\lim_{x \to 27} \frac {({x^{\frac 2 3}-9})} {x-27}$

$=\lim_{x \to 27} \frac {({x^{\frac 2 3}-27^{\frac 2 3}})} {x-27}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

$=\frac 2 3(27)^{\frac 2 3 -1}$

$=\frac 2 3(27)^{\frac {-1} 3}$

$=\frac 2 3\times \frac 1 {(27)^{\frac 1 3}}$

$=\frac 2 3\times \frac 1 3$

$=\frac 2 9$

问题8。 $\lim_{x \to 4} \frac {{x^3-64}} {x^2-16}$

解决方案：

$\lim_{x \to 4} \frac {{x^3-64}} {x^2-16}$

$=\lim_{x \to 4} \frac {{x^3-4^3}} {x^2-4^2}$

Dividing the numerator and denominator with x-4

$=\lim_{x \to 4} \frac {\frac {x^3-4^3} {x-4}} {\frac {x^2-4^2} {x-4}}$

$= \frac {\lim_{x \to 4}{\frac {x^3-4^3} {x-4}}} {\lim_{x \to 4}{\frac {x^2-4^2} {x-4}}}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$here, n=3 in numerator and n=2 in denominator 

$= \frac {3(4)^{3-1}} {2(4)^{2-1}}$

$= \frac {3(4)^{2}} {2(4)}$

$=6$

问题9。 $\lim_{x \to 1} \frac {{x^{15}-1}} {x^{10}-1}$

解决方案

$\lim_{x \to 1} \frac {{x^{15}-1}} {x^{10}-1}$

Dividing the numerator and denominator with x-1

$=\lim_{x \to 1} \frac {\frac {x^{15}-1^{15}} {x-1}} {\frac {x^{10}-1^{10}} {x-1}}$

$= \frac {\lim_{x \to 1}\frac {x^{15}-1^{15}} {x-1}} {\lim_{x \to 1}\frac {x^{10}-1^{10}} {x-1}}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$here, 

n=15 in numerator and n=10 in denominator

$=\frac {15(1)^{15-1}}{10(1)^{10-1}}$

$=\frac {15} {10}$

$= \frac 3 2$

问题10。 $\lim_{x \to {-1}} \frac {{x^{3}+1}} {x+1}$

解决方案：

$\lim_{x \to {-1}} \frac {{x^{3}+1}} {x+1}$

$=\lim_{x \to {-1}} \frac {{x^{3}-(-1)^3}} {x-(-1)}$

Applying the formula $\lim_{x \to a} \frac {x^{n}-a^{n}} {x-a}=na^{n-1}$

$=3(-1)^{3-1}$

$=3(-1)^2$

$=3$