11类RD Sharma解决方案–第29章限制–练习29.10 |套装1

评估以下限制：

问题1 $\lim_{x\to0}\frac{5^x-1}{\sqrt{4+x}-2}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{5^x-1}{\sqrt{4+x}-2}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)(\sqrt{4+x}+2)}{(\sqrt{4+x}-2)(\sqrt{4+x}+2)}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)(\sqrt{4+x}+2)}{4+x-4}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)(\sqrt{4+x}+2)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)}{x}\lim_{x\to0}(\sqrt{4+x}+2)$

=$4\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)}{x}$

We know,$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$. So, we have,

= 4 log 5

问题2。 $\lim_{x\to0}\frac{log(1+x)}{3^x-1}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{log(1+x)}{3^x-1}$

=$\lim_{x\to0}\frac{log(1+x)}{x}×\frac{1}{\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}}$

We know,$lim_{x\to0}\frac{log(1+x)}{x}=1$. So, we have,

=$\frac{1}{\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

=$\frac{1}{log3}$

问题3。 $\lim_{x\to0}\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x+a^{-x}-2}{x^2}$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{2x}+1-2a^x}{x^2}$

=$\lim_{x\to0}(\frac{a^x-1}{x})^2×\frac{1}{a^x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

=$(log_ea)^2×\frac{1}{a^0}$

= (log_e a)²

问题4。 $\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-1}{b^{nx}-1}$ ，n≠0

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-1}{b^{nx}-1}$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-1}{mx}×\frac{1}{\lim_{x\to0}\frac{b^{nx}-1}{nx}}×\frac{m}{n}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

=$loga×\frac{1}{logb}×\frac{m}{n}$

=$\frac{mloga}{nlogb}$

问题5 $\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x-2}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x-2}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(a^x-1)+(b^x-1)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^x-1}{x}+\frac{b^x-1}{x}\right)$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{b^x-1}{x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= log a + log b

= log (ab)

问题6。 $lim_{x\to0}(\frac{9^x-2.6^x+4^x}{x^2})$

解决方案：

We have,

=$lim_{x\to0}(\frac{9^x-2.6^x+4^x}{x^2})$

=$lim_{x\to0}\frac{(3^x)^2-2.6^x+(2^x)^2}{x^2}$

=$lim_{x\to0}\left(\frac{3^x-2^x}{x}\right)^2$

=$lim_{x\to0}\left(\frac{3^x-1-(2^x-1)}{x}\right)^2$

=$lim_{x\to0}\left(\frac{3^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}\right)^2$

=$\left(lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}-lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}\right)^2$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= (log 3 − log 2)²

=$\left(log\frac{3}{2}\right)^2$

问题7。 $\lim_{x\to0}\frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{8^x-4^x-2^x+1}{x^2}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(2^x-1)^2(2^x+1)}{x^2}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(2^x-1)^2}{{x^2}}×\lim_{x\to0}(2^x+1)$

=$2\lim_{x\to0}\left(\frac{2^x-1}{x}\right)^2$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= 2(log2)²

问题8。 $\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(a^{mx}-1)-(b^{nx}-1)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\left(\frac{a^{mx}-1}{x}-\frac{b^{nx}-1}{x}\right)$

=$\lim_{x\to0}\left(m×\frac{a^{mx}-1}{mx}\right)-\lim_{x\to0}\left(n×\frac{b^{nx}-1}{nx}\right)$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= m log a − n log b

= log a^m − log bⁿ

=$log\left(\frac{a^m}{b^n}\right)$

问题9。 $\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x+c^x-3}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x+c^x-3}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(a^x-1)+(b^x-1)+(c^x-1)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{b^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{c^x-1}{x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= log a + log b + log c

= log (abc)

问题10。 $\lim_{x\to2}\frac{x-2}{log_a(x-1)}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to2}\frac{x-2}{log_a(x-1)}$

Let x − 2 = h. So, we get,

=$\lim_{h\to0}\frac{h}{log_a(h+1)}$

=$\lim_{h\to0}\frac{h}{\frac{log(h+1)}{loga}}$

=$\lim_{h\to0}\frac{loga}{\frac{log(h+1)}{h}}$

=$\frac{loga}{\lim_{h\to0}\frac{log(h+1)}{h}}$

We know,$lim_{x\to{a}}\frac{log(1+x)}{x}=1$. So, we have,

= log a

问题11 $\lim_{x\to0}\frac{5^x+3^x+2^x-3}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{5^x+3^x+2^x-3}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(5^x-1)+(3^x-1)+(2^x-1)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{5^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{4^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= log 5 + log 3 + log 2

= log (5×3×2)

= log 30

问题12。 $\lim_{x\to0}(a^{\frac{1}{x}}-1)x$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}(a^{\frac{1}{x}}-1)x$

Let 1/x = h. We get,

=$\lim_{h\to0}(a^h-1)\frac{1}{h}$

=$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= log a

问题13。 $\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{sinkx}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{sinkx}$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^{mx}-b^{nx}}{kx×\frac{sinkx}{kx}}$

=$\frac{1}{k}\lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{mx}-b^{nx}}{x}}{\frac{sinkx}{kx}}$

=$\frac{1}{k}\lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{mx}-1-(b^{nx}-1)}{x}}{\frac{sinkx}{kx}}$

=$\frac{1}{k}\lim_{x\to0}\frac{\frac{a^{mx}-1}{x}-\frac{b^{nx}-1}{x}}{\frac{sinkx}{kx}}$

=$\frac{1}{k}\lim_{x\to0}\frac{m×\frac{a^{mx}-1}{mx}-n×\frac{b^{nx}-1}{nx}}{\frac{sinkx}{kx}}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$and$lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$, we get,

=$\frac{mloga-nlogb}{k}$

=$\frac{loga^m-logb^n}{k}$

=$\frac{1}{k}log(\frac{a^m}{b^n})$

问题14。 $\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x-c^x-d^x}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x+b^x-c^x-d^x}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{(a^x-1)+(b^x-1)-(c^x-1)-(d^x-1)}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{b^x-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{c^x-1}{x}-\lim_{x\to0}\frac{d^x-1}{x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$, we get,

= log a + log b − log c − log d

= log a+ log b − (log c + log d)

= log ab − log cd

=$\frac{ab}{cd}$

问题15。 $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1+sinx}{x}$

解决方案：

We have,

=$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1+sinx}{x}$

=$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}+\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}$

As$lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=loga$and$lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=1$, we get,

= log e + 1

= 1 + 1

= 2