零与多项式系数之间的关系

任何具有常数和变量的代数表达式都称为多项式。多项式是“ Poly”和“ nominal”两个词的组合，其中poly表示“许多”而名义上表示“项”，因此，多项式可以包含尽可能多的项，但绝不能是无限的。在多项式中，零和系数存在于已经提供给我们的系数中，但是，我们需要借助系数来获取零的值。

零和系数之间的关系

我们知道，任何多项式的零点都是多项式图切割x轴的点。也可以使用多项式中不同项的系数找出这些零。让我们看一下零与多项式系数之间的关系。

线性多项式

通常，线性多项式由下式定义：

y =轴+ b

我们知道，对于零，我们需要找到y = 0的点。求解y = 0的一般方程。

y =轴+ b

⇒0=斧+ b

⇒x= $\frac{-b}{a}$

这为我们提供了零和线性多项式系数之间的关系。

In general for a linear equation y = ax + b, a ≠ 0, the graph of ax + b is a straight line that cuts the x-axis at ($\frac{-b}{a}$, 0)

问题：使用上述公式和图形方法验证线性多项式的零。

y = 4x + 2

解决方案：

We are given with the equation y = 4x + 2, 

Here a = 4 and b = 2

So, by the formula mentioned above the zero will occur at ($\frac{-b}{a}$, 0) that is $(-\frac{2}{4},0) = (-\frac{1}{2},0)$

Let’s verify this zero with graphical method. We need to plot the graph of this equation. 

y = 4x + 2 

Let’s bring it to the intercept form. 

$\frac{y}{2} - \frac{4x}{2} =1$

Now we know the intercepts on the x and y-axis. 

二次多项式

二次多项式具有最高的2阶数，并且伴随着因式分解，还有其他一些方法可以找到二次多项式的零点，例如Dharacharya方法。由于它具有最高的2级，因此在二次多项式中存在2个零。

让我们得出零与二次多项式系数之间的关系。假设一个多项式，

P(x)= 2x ² – 8x + 6

该多项式可以分解如下，

P(x)= 2x ² -8x + 6

= 2x ² – 6x – 2x + 6

= 2x(x – 3)-2(x – 3)

= 2(x – 1)(x – 3)

所以这个方程的根为x = 1和x = 3

请注意，

Sum of zeros = 1 + 3 = 4 = $\frac{8}{2} = -\frac{-8}{2} = - \frac{\text{Coefficient of }x}{\text{Coefficient of }x^2}$

Product of zeros = 1 × 3 = 3 = $\frac{6}{2} = \frac{\text{Constant Term}}{\text{Coefficient of }x^2}$

这是零和二阶系数的系数之间的关系。

因此，以一般形式

For a polynomial, p(x) = ax² + bx + c which has m and n as roots 

m + n = $\frac{-b}{a}$

m × n = $\frac{c}{a}$

问题：验证上述方程式的属性6x ² – 10x + 4

解决方案：

6x² – 10x + 4 

⇒ 6x² – 6x -4x + 4

⇒ 6x(x – 1) – 4(x – 1)

⇒ (6x – 4) (x – 1) 

Thus, the roots for this equation come out to be x = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ and x = 1

Now we know according to above properties, 

Sum of zeros = $- \frac{\text{Coefficient of }x}{\text{Coefficient of }x^2}$

Product of zeros = $\frac{\text{Constant Term}}{\text{Coefficient of }x^2}$

Let’s verify it 

Sun of zeros = 1 + $\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$

$- \frac{\text{Coefficient of }x}{\text{Coefficient of }x^2} = -\frac{-10}{6} = \frac{5}{3}$

Both the values come to be equal. Hence, verified. 

Let’s verify the product of roots property 

Product of zeros = $\frac{2}{3}$

 $\frac{\text{Constant Term}}{\text{Coefficient of }x^2} = \frac{2}{3}$ 

In this case also, both values are equal. Hence, verified. 

三次多项式

对于三次多项式可以得出类似的关系。三次多项式是次数为3的多项式，并且由于其最高次数为3，所以三次多项式存在三个零。假设获得的多项式的根/零为p，q，r，则零与多项式之间的关系为：

For a cubic polynomial, 

ax³ + bx² + cx + d

Which has roots x = p, q and r 

p + q+ r = $-\frac{b}{a}$

pq + qr + pr = $\frac{c}{a}$

pqr = $\frac{-d}{a}$

让我们看一些有关这些属性的示例。

样本问题

问题1：验证-1,1,2是多项式x ³ -2x ² – x + 2的根。还要验证上述属性。

解决方案：

x = -1, 1 and 2 are the roots of polynomial that is P(x) = 0 at all these points. Let’s plug in the values of x one by one in the polynomial. 

P(-1) = (-1)³ – 2(-1)² -(-1) + 2 

         = -1 – 2 + 1 + 2

         = -3 + 3

         = 0 

P(1) = (1)³ – 2(1)² – 1 + 2 

       = 1 – 2 – 1 + 2 

       = 0 

P(2) = (2)³ – 2(2)² – 2 + 2 

       = 8 – 8 – 2 + 2

       = 0

Thus, all these points are roots of the polynomial 

Let’s verify the properties 

(1) p + q+ r = $-\frac{b}{a}$

⇒ -1 + 1+ 2 = $-\frac{-2}{1}$

⇒ 2 = 2 

L.H.S = R.H.S 

Hence Verified 

(2) pq + qr + pr = $\frac{c}{a}$

  ⇒ (-1)(1) + (1)(2) + (-1)(2) = $\frac{-1}{1}$

  ⇒ -1+ 2 -2 = -1 

 ⇒ -1 = -1 

L.H.S = R.H.S

Hence Verified 

(3) pqr = $\frac{-d}{a}$

⇒ (-1)(1)(2) = $\frac{-2}{1}$

⇒ -2 = -2

L.H.S = R.H.S 

Hence Verified 

问题2：评估二次多项式6x ² + 18的零的总和。

解决方案：

General form of a quadratic polynomial is ax² + bx + c = 0. 

Given polynomial 6x² + 18 can be rewritten as, 

6x² + 0.x + 18

As studied above the sum and product of roots of quadratic polynomial is given by, 

m + n = $\frac{-b}{a}$

m.n = $\frac{c}{a}$

Where m and n are the roots of the polynomial 

In our case a = 6, b = 0 and c = 18. Plugging the values in the formulas 

m + n = $\frac{-b}{a} = \frac{0}{6} = 0$

m.n = $\frac{c}{a} = \frac{18}{6} = 3$

Thus, the sum of roots is 0 and product is given by 3. 

问题3：给定多项式ax ² + bx +1。其根为-1和3。找到a和b的值。

解决方案：

We know the formula for sum and product of the root of a quadratic polynomial . 

Let m and n be the roots, 

Here, m = -1 and n =3 

So, by the formula 

m + n = $\frac{-b}{a}$…(1)

m.n = $\frac{c}{a}$ …..(2)

From the equation (1) 

-1 + 3 = $\frac{-b}{a}$

⇒ 2 = \frac{-b}{a}  

⇒ 2a = -b 

From equation (2) 

(-1)(3) = $\frac{1}{a}$

⇒ -3a = 1

⇒ a = $\frac{-1}{3}$ 

Putting this value of “a” in the above equation 

b = $\frac{-2}{3}$