给定一个矩阵，任务是使用高斯-乔丹方法找到该矩阵的逆。
什么是矩阵?
矩阵是数字的有序矩形数组。
可以在矩阵上执行的运算是：矩阵的加法，减法，乘法或转置等。
矩阵的逆：
给定一个非奇异的方阵A(意味着A的行列式不为零)；然后存在一个矩阵
这称为矩阵A的逆。
矩阵的逆仅在以下属性成立时才可能：
- 矩阵必须是正方形矩阵。
- 矩阵必须是非奇异矩阵，并且
- 存在一个恒等式I
通常，可以使用以下简单公式找到n X n矩阵A的逆：
其中，Adj(A)表示矩阵的伴随，而Det(A)是矩阵A的行列式。
查找矩阵逆的方法：
找到2×2矩阵的逆是一项简单的任务，但是要找到较大矩阵(例如3×3、4×4等)的逆是一项艰巨的任务，因此可以使用以下方法：
- 基本行运算(Gauss-Jordan方法) (有效)
- 未成年人，辅因子和陪审法(效率低下)
基本行运算(高斯–乔丹方法)：
Gauss-Jordan方法是高斯消除的一种变体，其中执行行约简运算以查找矩阵的逆。
使用高斯-乔丹方法找到矩阵逆的步骤：
为了找到矩阵的逆，需要遵循以下步骤：
- 由单位矩阵形成扩充矩阵。
- 在此扩展矩阵上执行行缩减操作，以生成矩阵的行缩减梯形形式。
- 需要时，对增强矩阵执行以下行操作：
- 互换任意两行。
- 将行的每个元素乘以非零整数。
- 用自身和矩阵另一行的常数倍之和替换一行。
例子：
- 增强矩阵的形式为A：B
- 应用高斯-乔丹消除法后：
下面是使用Gauss-Jordan方法查找矩阵逆的C++程序：
CPP
// C++ program to find the inverse of Matrix.
#include
#include
using namespace std;
// Function to Print matrix.
void PrintMatrix(float** ar, int n, int m)
{
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
cout << ar[i][j] << " ";
}
printf("\n");
}
return;
}
// Function to Print inverse matrix
void PrintInverse(float** ar, int n, int m)
{
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = n; j < m; j++) {
printf("%.3f ", ar[i][j]);
}
printf("\n");
}
return;
}
// Function to perform the inverse operation on the matrix.
void InverseOfMatrix(float** matrix, int order)
{
// Matrix Declaration.
float temp;
// PrintMatrix function to print the element
// of the matrix.
printf("=== Matrix ===\n");
PrintMatrix(matrix, order, order);
// Create the augmented matrix
// Add the identity matrix
// of order at the end of original matrix.
for (int i = 0; i < order; i++) {
for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
// Add '1' at the diagonal places of
// the matrix to create a identity matirx
if (j == (i + order))
matrix[i][j] = 1;
}
}
// Interchange the row of matrix,
// interchanging of row will start from the last row
for (int i = order - 1; i > 0; i--) {
// Swapping each and every element of the two rows
// if (matrix[i - 1][0] < matrix[i][0])
// for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
//
// // Swapping of the row, if above
// // condition satisfied.
// temp = matrix[i][j];
// matrix[i][j] = matrix[i - 1][j];
// matrix[i - 1][j] = temp;
// }
// Directly swapping the rows using pointers saves
// time
if (matrix[i - 1][0] < matrix[i][0]) {
float* temp = matrix[i];
matrix[i] = matrix[i - 1];
matrix[i - 1] = temp;
}
}
// Print matrix after interchange operations.
printf("\n=== Augmented Matrix ===\n");
PrintMatrix(matrix, order, order * 2);
// Replace a row by sum of itself and a
// constant multiple of another row of the matrix
for (int i = 0; i < order; i++) {
for (int j = 0; j < order; j++) {
if (j != i) {
temp = matrix[j][i] / matrix[i][i];
for (int k = 0; k < 2 * order; k++) {
matrix[j][k] -= matrix[i][k] * temp;
}
}
}
}
// Multiply each row by a nonzero integer.
// Divide row element by the diagonal element
for (int i = 0; i < order; i++) {
temp = matrix[i][i];
for (int j = 0; j < 2 * order; j++) {
matrix[i][j] = matrix[i][j] / temp;
}
}
// print the resultant Inverse matrix.
printf("\n=== Inverse Matrix ===\n");
PrintInverse(matrix, order, 2 * order);
return;
}
// Driver code
int main()
{
int order;
// Order of the matrix
// The matrix must be a square a matrix
order = 3;
/*
float matrix[20][20] = { { 5, 7, 9 },
{ 4, 3, 8 },
{ 7, 5, 6 },
{ 0 } };
*/
float** matrix = new float*[20];
for (int i = 0; i < 20; i++)
matrix[i] = new float[20];
matrix[0][0] = 5;
matrix[0][1] = 7;
matrix[0][2] = 9;
matrix[1][0] = 4;
matrix[1][1] = 3;
matrix[1][2] = 8;
matrix[2][0] = 7;
matrix[2][1] = 5;
matrix[2][2] = 6;
// Get the inverse of matrix
InverseOfMatrix(matrix, order);
return 0;
} 输出：
=== Matrix ===
5 7 9
4 3 8
7 5 6
=== Augmented Matrix ===
7 5 6 0 0 1
5 7 9 1 0 0
4 3 8 0 1 0
=== Inverse Matrix ===
-0.210 0.029 0.276
0.305 -0.314 -0.038
-0.010 0.229 -0.124
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