Javascript 程序查找最小插入以形成回文| DP-28

给定字符串str ，任务是找到要插入的最小字符数以将其转换为回文。

在我们继续之前，让我们通过几个例子来理解：

• ab：所需的插入次数为 1 即b ab
• aa：所需的插入次数为 0，即 aa
• abcd：所需的插入次数为 3 即dcb abcd
• abcda：所需的插入次数为 2，即dc bcda，它与子串 bcd 中的插入次数相同（为什么？）。
• abcde：所需的插入次数为 4 即edcb abcde

让输入字符串为str[l……h] 。问题可以分解为三个部分：

1. 求子串 str[l+1,…….h] 中的最小插入次数。
2. 求子串 str[l…….h-1] 中的最小插入次数。
3. 求子串 str[l+1……h-1] 中的最小插入次数。

递归方法：字符串str[l.....h]中的最小插入次数可以给出为：

• minInsertions(str[l+1…..h-1]) 如果 str[l] 等于 str[h]
• min(minInsertions(str[l…..h-1]), minInsertions(str[l+1…..h])) + 1 否则

下面是上述方法的实现：

Javascript

// A Naive recursive JavaScript program to 
// find minimum number insertions needed 
// to make a string palindrome
  
    // Recursive function to find minimum 
    // number of insertions
    function findMinInsertions(str,l,h)
    {
        // Base Cases
        if (l > h) 
            return Number.MAX_VALUE;
          
        if (l == h)
            return 0;
          
        if (l == h - 1)
            return (str[l] == str[h])? 0 : 1;
          
        // Check if the first and last characters
        // are same. On the basis of the  comparison
        // result, decide which subrpoblem(s) to call
        return (str[l] == str[h]) ? 
        findMinInsertions(str, l + 1, h - 1) :
        (Math.min(findMinInsertions(str, l, h - 1),
        findMinInsertions(str, l + 1, h)) + 1)        
    }
      
    // Driver program to test above functions
    let str= "geeks";
    document.write(
    findMinInsertions(str, 0, 
                      str.length-1));
     
// This code is contributed by rag2127

输出：

3

基于动态规划的解决方案
如果我们仔细观察上述方法，我们会发现它表现出重叠的子问题。
假设我们想找到字符串“abcde”中的最小插入次数：

abcde
            /       |      
           /        |        
           bcde         abcd       bcd  cd   bcd abc bc
   / |   / |  /| / | 
de cd d cd bc c………………….

粗体子串表示递归将被终止，递归树不能从那里开始。相同颜色的子字符串表示重叠的子问题。

如何重用子问题的解决方案？记忆技术用于避免类似的子问题召回。我们可以创建一个表来存储子问题的结果，以便在再次遇到相同的子问题时可以直接使用它们。
下表表示字符串abcde 的存储值。

a b c d e
----------
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 
0 0 0 1 2 
0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0

如何填表？
表格应以对角线方式填充。对于字符串abcde, 0….4，应按以下顺序填充表格：

Gap = 1: (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 4)

Gap = 2: (0, 2) (1, 3) (2, 4)

Gap = 3: (0, 3) (1, 4)

Gap = 4: (0, 4)

下面是上述方法的实现：

Javascript

// A Javascript solution for Dynamic Programming
// based program to find minimum number
// insertions needed to make a string
// palindrome
  
// A DP function to find minimum number
// of insertions
function findMinInsertionsDP(str,n)
{
    // Create a table of size n*n. table[i][j]
    // will store minimum number of insertions
    // needed to convert str[i..j] to a palindrome.
          
    let table = new Array(n);
    for(let i = 0; i < n; i++)
    {
        table[i] = new Array(n);
    }
          
    for(let i = 0; i < n; i++)
    {
        for(let j = 0; j < n;j ++)
        {
            table[i][j] = 0;
        }
    }
          
    let l = 0, h = 0, gap = 0;
          
    // Fill the table
    for (gap = 1; gap < n; gap++)
    {
        for (l = 0, h = gap; h < n; l++, h++)
        {
            table[l][h] = (str[l] == str[h]) ? table[l + 1][h - 1] : 
                          (Math.min(table[l][h - 1], table[l + 1][h]) + 1);
                  
        }
    }
    // Return minimum number of insertions
    // for str[0..n-1]
    return table[0][n - 1];
}
  
// Driver code
let str = "geeks";
document.write(
findMinInsertionsDP(str, str.length));
      
// This code is contributed by avanitrachhadiya2155

输出：

3

时间复杂度： O(N^2)
辅助空间： O(N^2)

另一种动态规划解决方案（最长公共子序列问题的变体）
寻找最小插入的问题也可以使用最长公共子序列（LCS）问题来解决。如果我们找出字符串的 LCS 和它的倒数，我们就知道有多少个最大字符可以形成一个回文。我们需要插入剩余的字符。以下是步骤。

1. 求输入字符串的 LCS 长度及其倒数。设长度为“l”。
2. 所需的最小插入次数是输入字符串的长度减去“l”。

下面是上述方法的实现：

Javascript

// An LCS based Javascript program to find 
// minimum number insertions needed to make 
// a string palindrome
     
/* Returns length of LCS for X[0..m-1],
   Y[0..n-1]. See http://goo.gl/bHQVP for
   details of this function */
function lcs(X, Y, m, n)
{
    let L = new Array(m+1);
    for(let i = 0; i < m + 1; i++)
    {
        L[i] = new Array(n+1);
        for(let j = 0; j < n + 1; j++)
        {
            L[i][j] = 0;
        }
    }
          
    let i, j;
   
    /* Following steps build L[m+1][n+1] in
       bottom up fashion. Note that L[i][j]
       contains length of LCS of X[0..i-1]
       and Y[0..j-1] */
    for (i = 0; i <= m; i++)
    {
        for (j = 0; j <= n; j++)
        {
            if (i == 0 || j == 0)
                L[i][j] = 0;
   
            else if (X[i - 1] == Y[j - 1])
                L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1;
   
            else
                L[i][j] = Math.max(L[i - 1][j], L[i][j - 1]);
        }
    }
   
    /* L[m][n] contains length of LCS for
       X[0..n-1] and Y[0..m-1] */
    return L[m][n];
}
      
// LCS based function to find minimum number
// of insertions
function findMinInsertionsLCS(str, n)
{
    let revString = str.split('').reverse().join('');
          
    // The output is length of string minus
    // length of lcs of str and it reverse
    return (n - lcs(
            str, revString , n, n));
}
      
// Driver code
let str = "geeks";
document.write(
findMinInsertionsLCS(str, str.length));
      
// This code is contributed by unknown2108

输出：

3

时间复杂度： O(N^2)
辅助空间：O(N^2)

请参阅有关形成回文的最小插入的完整文章 | DP-28 了解更多详情！