检查行或列交换是否产生全为1的最大大小的二进制子矩阵

介绍

本文介绍的问题是，在一个二维01矩阵中，我们可以交换任意两行或任意两列，问交换后是否存在一个全为1的最大大小的子矩阵。

解决方案

我们可以使用暴力搜索的方法来解决这个问题。我们先遍历每一个子矩阵，然后再交换行或列，看看是否存在全为1的子矩阵。这个算法的时间复杂度是O(m^2 * n^2)，其中m和n分别是矩阵的长和宽。

更好的方法是使用动态规划。我们可以先将二维01矩阵转换成一个一维数组，然后对于每一个数字，我们记录它在当前列中连续的1的长度，分别记录每一行和每一列的长度，然后我们就可以求出任意子矩阵的面积。我们可以先按行或列排序，然后使用双指针算法维护连续1的区间，计算每个子矩阵的面积，并找到最大的全为1的子矩阵。这个算法的时间复杂度是O(m * n * log(n) + n * m * log(m))，其中排序的时间复杂度为 O(n * log(n)) 或 O(m * log(m))。

代码示例

以下是使用动态规划解决这个问题的Python代码片段：

def maxSubmatrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    rows, cols = [[0] * n for i in range(m)], [[0] * n for i in range(m)]
    
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == 1:
                rows[i][j] = rows[i][j - 1] + 1 if j > 0 else 1
                cols[i][j] = cols[i - 1][j] + 1 if i > 0 else 1
 
    for k in range(min(m, n), 0, -1):
        for i in range(m - k + 1):
            for j in range(n - k + 1):
                if all(rows[x][j+k-1] >= k and cols[i+k-1][y] >= k
                       for x in range(i, i+k) for y in range(j, j+k)):
                    return k*k
    
    return 0

代码说明

上面的代码定义了一个名为maxSubmatrix的函数来计算最大的全为1的子矩阵的面积。这个函数接受一个二维01矩阵作为输入，然后使用动态规划算法来计算最大的全为1的子矩阵的面积。该函数返回一个整数，表示最大的全为1的子矩阵的面积，如果不存在全为1的子矩阵，则返回0。

时间复杂度

时间复杂度：O(m * n * log(n) + n * m * log(m))

其中，排序的时间复杂度为 O(n * log(n)) 或 O(m * log(m))。

空间复杂度

空间复杂度：O(m * n)

其中，rows和cols数组的空间复杂度都是O(m * n)。