全为1的最大尺寸方形子矩阵

在计算机科学中，找到由1组成的最大尺寸方形子矩阵是一个经典问题。该问题的解决方案通常涉及到矩阵按行或列进行排序、计算高度和宽度、以及在O(n^2)时间内查找最大矩阵的过程。

算法思路

1. 暴力破解法

该算法的基本思路是枚举每个方形矩阵，然后检查该矩阵是否只由1组成。该算法的时间复杂度为O(n^4)，显然是不够优秀的。

2. 动态规划法

该算法通过构建一个额外的二维数组来解决问题。该数组的每个元素代表原始矩阵中每个位置的最大矩形大小。如果(i,j)位置的元素为1，则该位置的元素值为(i,j)位置上方和左侧的元素中最小值加1。通过该算法，可以在O(n^2)时间内解决问题。

代码实现：

def maximalSquare(matrix):
    """
    :type matrix: List[List[str]]
    :rtype: int
    """
    if not matrix:
        return 0

    m, n = len(matrix), len(matrix[0])

    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    max_len = 0

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if matrix[i - 1][j - 1] == '1':
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
                max_len = max(max_len, dp[i][j])

    return max_len * max_len

3. 栈和单调队列

该算法的基本思路是使用堆栈或单调队列来处理高度和位置信息。该算法的时间复杂度为O(n^2)。

代码实现：

def maximalSquare(matrix):
    """
    :type matrix: List[List[str]]
    :rtype: int
    """
    if not matrix:
        return 0

    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    height = [0] * (n + 1)
    max_len = 0

    for i in range(m):
        stack = [-1]

        for j in range(n):
            if matrix[i][j] == '1':
                height[j] += 1
            else:
                height[j] = 0

            while height[j] < height[stack[-1]]:
                h = height[stack.pop()]
                w = j - stack[-1] - 1
                max_len = max(max_len, min(h, w) ** 2)

            stack.append(j)

    return max_len

总结

在本文中，我们介绍了三种求解由1组成的最大尺寸方形子矩阵问题的方法。我们可以发现，使用动态规划可以在O(n^2)的时间复杂度内解决问题，算法的关键在于构建一个额外的二维数组来存储每个位置的最大矩阵大小。使用堆栈或单调队列的方法同样可以在O(n^2)的时间复杂度内解决问题，通过维护位置和高度信息来计算矩阵的大小。