找到元素总和至多 K 的方形子矩阵的最大长度

介绍

在一个二维矩阵中，找到元素总和至多 K 的方形子矩阵的最大长度是一道计算机科学中的经典问题。

这个问题的解决方法主要是基于动态规划和排序算法，其中动态规划算法时间复杂度为 O(n^3)，而排序算法则可以在线性时间内解决问题。因此，在确定问题规模与资源限制的情况下，可以选择合适的算法来求解该问题。

方法

动态规划

使用二维数组 dp 表示以第 i 行、第 j 列结束的子矩阵的最大值。则，该子矩阵的元素总和为：

sum = dp[i][j] - dp[i - len][j] - dp[i][j - len] + dp[i - len][j - len]

其中，len 表示该子矩阵的长度。

因此，我们可以通过枚举子矩阵的左上角坐标和长度，来找到最大长度。

动态规划的时间复杂度为 O(n^3)。

排序算法

我们可以使用前缀和和二分查找来解决该问题。

首先，我们可以计算出所有子矩阵的前缀和。这个前缀和矩阵的每个元素表示以该元素为右下角所构成的子矩阵的元素总和。

sums[i][j] = matrix[i][j] + sums[i-1][j] + sums[i][j-1] - sums[i-1][j-1]

然后，我们可以枚举所有子矩阵的左上角坐标和右下角坐标，通过二分查找找到最大的长度。对于每个子矩阵，我们可以使用二分查找找到第一个大于等于 K 的前缀和，然后计算出长度，在所有子矩阵中寻找最大长度。

排除预处理前缀和和离线计算二分查找，排序算法的时间复杂度为 O(n^3 * log n)。

代码示例

动态规划

def max_submatrix_length_dp(matrix, K):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    ans = 0
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            dp[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1]
            for len in range(1, min(i, j) + 1):
                if dp[i][j] - dp[i - len][j] - dp[i][j - len] + dp[i - len][j - len] <= K:
                    ans = max(ans, len)
    return ans

排序算法

def max_submatrix_length_sort(matrix, K):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    sums = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            sums[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] + sums[i - 1][j] + sums[i][j - 1] - sums[i - 1][j - 1]

    ans = 0
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for ii in range(i, m + 1):
                l, r = j, n + 1
                while l < r:
                    mid = (l + r) // 2
                    if sums[ii][mid] - sums[ii][j - 1] - sums[i - 1][mid] + sums[i - 1][j - 1] >= K:
                        r = mid
                    else:
                        l = mid + 1
                if l > n:
                    break
                ans = max(ans, ii - i + 1)

    return ans

其中，动态规划算法时间复杂度为 O(n^3)，而排序算法则可以在线性时间内解决问题。排除预处理前缀和和离线计算二分查找的时间，排序算法的时间复杂度为 O(n^3 * log n)。

结论

在大多数情况下，使用排序算法能够更快地解决该问题，特别是当矩阵的数据规模很大时。但是，在求解极端情况下的问题时，需要综合考虑问题规模、资源限制和实际需求，选择合适的算法解决问题。