不超过 K 的非相邻数组元素的最大可能总和

简介

在一个给定的整数数组中，找出一个非相邻元素的子集，使得子集中所有元素的和不超过给定的整数 K。本题要求找出这个子集的最大可能总和。

解题思路

要想求解非相邻数组元素的最大可能总和，可以使用动态规划的方法来解决。动态规划通常适用于分解问题成子问题并进行求解的情况。

设 dp[i] 为以第 i 个元素结尾的子集的最大可能总和，则有以下状态转移方程：

dp[i] = max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1])

其中 nums 为输入的整数数组。

算法步骤

1. 初始化动态规划数组 dp，长度为数组 nums 的长度加 2，初始值均为 0。
2. 遍历整数数组 nums 中的每个元素，计算 dp[i+2] 的值。
3. 返回 dp 数组中的最后一个元素，即为非相邻数组元素的最大可能总和。

代码实现

def non_adjacent_sum(nums, K):
    if len(nums) == 0:
        return 0

    # 初始化动态规划数组
    dp = [0] * (len(nums) + 2)

    # 遍历整数数组
    for i in range(len(nums)):
        # 计算dp[i+2]的值
        dp[i+2] = max(dp[i] + nums[i], dp[i+1])

    # 返回非相邻数组元素的最大可能总和
    return dp[-1]

# 示例用法
nums = [1, 2, 3, 4, 5]
K = 7
max_sum = non_adjacent_sum(nums, K)
print(max_sum)  # 输出 9

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 为整数数组 nums 的长度。
• 空间复杂度：O(n)，其中 n 为整数数组 nums 的长度。需要使用额外的动态规划数组 dp 来记录最大可能总和。

总结

本题通过使用动态规划的方法，求解了非相邻数组元素的最大可能总和。通过定义动态规划数组并使用状态转移方程，可以快速求解该问题。此外，动态规划算法具有一定的时间和空间复杂度，需要根据实际情况进行评估和优化。在实际开发中，我们可以根据具体的问题特征选择合适的算法来解决。