国际空间研究组织 | ISRO CS 2014 | 问题 17

这是一道计算机科学的问题，考察的是程序员的能力。它属于国际空间研究组织（ISRO）2014年计算机科学考试（CS）题目第17题。

问题描述

给定n对正整数a和b，计算它们之间的所有不相交区间的和。即，对于每个1 <= i <= n，我们有一个区间[a[i], b[i]]。你的任务是计算这些区间的所有不相交子区间的和。因此，如果两个区间[a[i], b[i]]和[a[j], b[j]]不相交，则它们的贡献是(a[i] - b[i] + 1) * (a[j] - b[j] + 1)。

解决方案

思路

可以使用动态规划(DP)来解决这个问题。因为我们要求的是所有不相交子区间的和，所以可以定义dp[i]表示前i个区间的所有不相交子区间的和。

状态转移方程

状态转移方程如下：

dp[0] = 0 
dp[i] = dp[i - 1] + (b[i] - a[i] + 1) * (b[i] - a[i] + 2) / 2 //情况1
for j = i - 1 to 1:
    if b[j] < a[i]: //情况2
        dp[i] += (a[i] - b[i] + 1) * (a[j] - b[j] + 1)
    else:
        break

其中情况1是dp[i]不包含第i个区间的贡献；情况2是dp[i]包含第i个区间的贡献。情况2可以理解为，我们先将第i个区间自成一个子区间，然后再将它与之前的每个子区间组合。

代码实现

下面是使用Python实现的代码：

def calculateSum(n, a, b):
    dp = [0] * (n + 1) #初始化dp数组
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = dp[i - 1] + (b[i] - a[i] + 1) * (b[i] - a[i] + 2) // 2 #情况1
        for j in range(i - 1, 0, -1):
            if b[j] < a[i]:
                dp[i] += (a[i] - b[i] + 1) * (a[j] - b[j] + 1) #情况2
            else:
                break
    return dp[n] #返回结果

总结

通过这道题目，我们可以学习动态规划的思想，并且练习动态规划的实现。这道题目不难，但需要将情况1和情况2全部理解透彻才能顺利解答。