完整的二叉树

简介

完整的二叉树（Full Binary Tree）指的是所有非叶子节点都有两个子节点的二叉树。具有n个节点的完整二叉树的每一层都有2^(n-1)个节点，其高度为log2(n+1)。完整二叉树是一种高度平衡的二叉树，因此可以保证查找操作的时间复杂度为O(logn)。

特征

完整二叉树具有以下特征:

1. 所有非叶子节点都有两个子节点。
2. 每一层的节点数都是满的，即每层都有2^(n-1)个节点。(n为该层的高度，第一层高度为1)

例如:

这是一个完整的二叉树，其中5和6节点没有子节点。

实现

完整二叉树通常使用数组来实现，可以用以下公式来计算每个节点的父节点、左子节点、右子节点在数组中的下标位置。

1. 父节点：parent(i) = i/2 （向下取整）
2. 左子节点：left(i) = 2*i
3. 右子节点：right(i) = 2*i+1

例如，对于数组[1,2,3,4,5,6]，其对应的完整二叉树如下所示:

    1
   / \
  2   3
 / \ 
4   5

其中:

• 节点1的左子节点为2，右子节点为3，父节点为0（因为数组下标从0开始）
• 节点2的左子节点为4，右子节点为5，父节点为0
• 节点3没有左右子节点，父节点为1
• 节点4、5没有左右子节点，父节点为2

应用

完整二叉树常用于堆（Heap）的实现中，堆是一种常见的数据结构。

堆的特点：

1. 堆是完整的二叉树。
2. 堆中每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子节点的值，这种关系被称为“堆顺序”。

堆有两种类型: 最大堆和最小堆。在最大堆中，父节点的值大于等于子节点的值，在最小堆中，父节点的值小于等于子节点的值。堆可以用于排序、优先队列等场景中。

例如，以下是一个最大堆示例:

        8
      /   \
     7     6
    / \   / \
   5  4   3  2

在这个最大堆中，每个父节点的值都大于等于其子节点的值。

总结

完整二叉树是一种常见的高度平衡二叉树，有着非常广泛的应用，特别是在堆相关的场景中。使用数组实现可以方便地计算每个节点的父节点和子节点，加速各种操作的实现。