将给定字符串转换为另一个字符串的最少操作

问题描述

给定两个字符串 $s$ 和 $t$，要求通过将字符移动到前端或末尾（不能改变字符顺序），将 $s$ 转换为 $t$，求最少需要进行多少次操作。

解法

这是一道比较典型的字符串匹配问题，可以用动态规划来解决。

定义状态

设 $dp(i,j)$ 表示将 $s[1:i]$ 转换为 $t[1:j]$ 所需的最少操作数。

状态转移

状态转移方程有两种情况：

1. 当 $s[i]=t[j]$ 时，无需操作，则有 $dp(i,j) = dp(i-1,j-1)$；
2. 当 $s[i]\neq t[j]$ 时，需要进行调整。可以将 $s[i]$ 移动到前端或末尾。为了使调整次数最少，我们选择移动次数更少的方式。设 $len$ 为 $t$ 中等于 $s[i]$ 的字符所在位置，如果 $s[i]$ 在 $t$ 中有多个出现位置，则令 $len$ 为距离 $i$ 最近的位置。则有转移方程：$$ dp(i,j) = \min{dp(i-1,j),dp(i,j-1)}+1 $$ 其中，$dp(i-1,j)$ 表示将 $s[1:i-1]$ 转换为 $t[1:j]$ 所需的最少操作数，$dp(i,j-1)$ 表示将 $s[1:i]$ 转换为 $t[1:j-1]$ 所需的最少操作数，$+1$ 表示对 $s[i]$ 的操作。

具体解释如下：

• 如果 $s[i]$ 移动到前端，则有 $dp(i,j) = dp(i-1,j)+1$；
• 如果 $s[i]$ 移动到末尾，则有 $dp(i,j) = dp(i,j-1)+1$；
• 如果将 $s[i]$ 移动到 $t$ 中的某个位置，则有 $dp(i,j) = dp(i-1,j-1)+dist$，其中 $dist = |i-len|$。

初始状态

• 当 $i=0$ 时，表示将一个空字符串转换为 $t[1:j]$，所需操作数为 $j$，因此有 $dp(0,j) = j$；
• 当 $j=0$ 时，表示将 $s[1:i]$ 转换为一个空字符串，所需操作数为 $i$，因此有 $dp(i,0) = i$；

返回值

最终答案为 $dp(n,m)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为字符串 $s$ 和 $t$ 的长度。

代码实现

def min_op(s: str, t: str) -> int:
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m+1):
        dp[0][j] = j
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if s[i-1] == t[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            else:
                len_s = s[:i].rfind(s[i-1])
                len_t = t[:j].rfind(s[i-1])
                dist = abs(i-1-len_t)
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + dist
    return dp[n][m]

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(nm)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别为字符串 $s$ 和 $t$ 的长度。