FSA（有限状态自动机）的等价性

FSA是一种计算机科学中用来识别和定义词法、语法等概念的数学模型。在编译器、正则表达式等领域得到广泛应用。

在FSA中，我们需要通过若干个状态来描述一个特定问题的解决方式。状态机中的状态由状态集合Q、转移函数δ以及初始状态S和终止状态集合F组成。

FSA的等价性是指对于一个给定的问题，我们可以通过不同的状态机来描述并解决。这种等价性有两种：

1. 状态机的状态集合相同，但转移函数不同
2. 状态机的状态集合和转移函数都相同，但初始状态和终止状态集合不同

下面我们来看两个例子来说明这两种等价性。

例子1

假设我们需要设计一个状态机来识别所有以字符"ab"结尾的字符串。我们可以设计出如下状态机：

digraph example1 {
    rankdir=LR;

    start -> q1 [label="a"];
    q1 -> q2 [label="b"];
    q2 [shape=doublecircle];
}

我们可以读取这个代码片段并生成相应的图形：

from graphviz import Digraph

# 定义状态机
fsm = Digraph(name="example1", format="png")
fsm.attr(rankdir="LR")

fsm.node("start")
fsm.node("q1")
fsm.node("q2", shape="doublecircle")
fsm.edge("start", "q1", label="a")
fsm.edge("q1", "q2", label="b")

# 生成图形
fsm.render(view=True)

我们也可以设计如下状态机来识别相同的字符串：

digraph example1 {
    rankdir=LR;

    start -> q1 [label="a"];
    q1 -> q1 [label="a"];
    q1 -> q2 [label="b"];
    q2 [shape=doublecircle];
}

通过读取这个代码片段，我们可以同样地生成相应的图形：

from graphviz import Digraph

# 定义状态机
fsm = Digraph(name="example1", format="png")
fsm.attr(rankdir="LR")

fsm.node("start")
fsm.node("q1")
fsm.node("q2", shape="doublecircle")
fsm.edge("start", "q1", label="a")
fsm.edge("q1", "q1", label="a")
fsm.edge("q1", "q2", label="b")

# 生成图形
fsm.render(view=True)

尽管这两个状态机的转移函数不同，但是它们的状态集合相同，都可以识别所有以字符"ab"结尾的字符串。因此，这两个状态机等价。

例子2

假设我们需要设计一个状态机来识别所有由"0"和"1"构成的二进制字符串，其中第一位为"1"的字符串。我们可以设计出如下状态机：

digraph example2 {
    rankdir=LR;

    start -> q1 [label="1"];
    q1 -> q1 [label="0,1"];
    q1 -> q2 [label="0,1"];
    q2 -> q2 [label="0,1"];
    q2 [shape=doublecircle];
}

我们可以读取这个代码片段并生成相应的图形：

from graphviz import Digraph

# 定义状态机
fsm = Digraph(name="example2", format="png")
fsm.attr(rankdir="LR")

fsm.node("start")
fsm.node("q1")
fsm.node("q2", shape="doublecircle")
fsm.edge("start", "q1", label="1")
fsm.edge("q1", "q1", label="0,1")
fsm.edge("q1", "q2", label="0,1")
fsm.edge("q2", "q2", label="0,1")

# 生成图形
fsm.render(view=True)

我们也可以设计如下状态机来识别相同的字符串：

digraph example2 {
    rankdir=LR;

    start -> q1 [label="1"];
    q1 -> q2 [label="0,1"];
    q2 -> q2 [label="0,1"];
    q2 [shape=doublecircle];
}

通过读取这个代码片段，我们可以同样地生成相应的图形：

from graphviz import Digraph

# 定义状态机
fsm = Digraph(name="example2", format="png")
fsm.attr(rankdir="LR")

fsm.node("start")
fsm.node("q1")
fsm.node("q2", shape="doublecircle")
fsm.edge("start", "q1", label="1")
fsm.edge("q1", "q2", label="0,1")
fsm.edge("q2", "q2", label="0,1")

# 生成图形
fsm.render(view=True)

尽管这两个状态机的初始状态和终止状态集合不同，但是它们的状态集合和转移函数都相同，都可以识别所有由"0"和"1"构成的二进制字符串，其中第一位为"1"的字符串。因此，这两个状态机等价。

综上所述，FSA的等价性是一种非常重要的概念，它可以让我们在设计状态机时更灵活地选择不同的结构。