查找一个数字，使得XOR后数组中的最大值为最小值

什么是XOR

XOR是指^，它是一种逻辑运算符，表示异或运算。在计算机中，异或运算可以用来加密数据，例如对数据进行加密后再传输，接收方再进行异或运算就可以得到原始数据。

问题描述

给定一个长度为n的非负整数数组nums，你需要查找一个数字，使得将这个数字与nums中的每个元素进行异或运算后，所得到的数组中最大值的最小值最小。

解法

假设所查找的数字为x，数组中的元素为a1,a2,...,an。

首先，可以发现将x与任何数字进行异或运算，都不会产生大于x的结果，因此只需要找到一个最小的x，使得将x与nums中的每个元素进行异或运算后，得到的数组中的最大值尽可能小即可。

其次，可以将问题转化为判断对于给定的x，是否存在一种将nums中的元素分成两个部分，使得这两个部分中元素的异或和的最大值小于等于x。

因为一个数的异或结果只受其每一位的值和位数的奇偶性的影响，因此可以用01位运算来实现。

具体算法如下：

1. 将所有数字转换为二进制表示，每个数字都是一个01串。

2. 从高位到低位，依次考虑每一位。

3. 计算出当前位为1的数的个数。

4. 如果当前位为1的数的个数小于n/2，则将当前位设为0；否则将当前位设为1。

5. 得到的01串即为所求的x的二进制表示。

6. 将x与nums中的每个元素进行异或运算，得到异或和的数组。

7. 在异或和数组中找到最大值，即为所求的最小的可以得到的数组中最大值的数字x。

算法复杂度

该算法的时间复杂度为O(nlogK)，其中K为最大数的二进制位数。因为需要处理每个数字的二进制表示，所以空间复杂度为O(nlogK)。

代码示例

def find_min_xor(nums):
    n = len(nums)
    K = nums[0].bit_length()  # 获取最大数的二进制长度
    x = 0
    for i in range(K - 1, -1, -1):  # 从高位到低位依次考虑每一位
        cnt = sum(1 for num in nums if num & (1 << i))  # 统计当前位为1的数的个数
        if cnt < n // 2:  # 如果当前位为1的数的个数小于n/2，则将当前位设为0；否则将当前位设为1。
            x |= 1 << i
    return x

# 测试
nums = [1, 3, 5, 7]
print(find_min_xor(nums))  # 2