打印时间最长增加连续子序列

介绍

在一个数组中找到最长的子序列，使得子序列中的所有元素依次递增，并按顺序打印这个子序列的元素。

例如，数组[3, 10, 2, 1, 20]的最长增加连续子序列是[3, 10, 20]，因此应该打印3、10和20。

本文将介绍如何设计一个高效的算法以解决这个问题。

解决方案

动态规划

这个问题可以用动态规划求解。动态规划的思想是将原问题分解为较小的子问题，并找到它们之间的关系。因此，本问题的子问题是找到以数组中每个元素为结尾的最长增加子序列。

令dp[i]表示以数组中第i个元素结尾的最长增加子序列的长度。从第一个元素开始，dp[0]的初始值为1。对于每个i > 0，遍历0到i-1之间的每个元素j。如果元素j大于元素i，则将dp[i]更新为dp[j]+1。遍历完数组后，dp[i]中的最大值即为最长增加子序列的长度。

接下来，需要重建这个子序列。从最大的dp[i]开始，逐步向前遍历数组，找到第一个最小的dp[j]，使得dp[j] + 1 = dp[i]，并将元素j加入子序列中。重复此步骤直到整个子序列被构建出来。

以下是Python代码的实现：

def print_longest_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)

    # 计算每个元素结尾的最长增加子序列的长度
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n):
        dp[i] = 1
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    # 重构子序列
    index = dp.index(max(dp))
    lis = [arr[index]]
    for i in range(index - 1, -1, -1):
        if arr[i] < arr[index] and dp[i] + 1 == dp[index]:
            lis.insert(0, arr[i])
            index = i

    # 输出结果
    print(lis)

使用样例：

print_longest_increasing_subsequence([3, 10, 2, 1, 20])
# [3, 10, 20]

时间复杂度

动态规划解法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是数组的长度。