水箱变空后的天数

有一个水箱，容量为C，开始时里面装满了水。这个水箱每天会蒸发一定的水，蒸发的量为E。当水箱中的水全部蒸发干净时，我们记录下来第N天。现在给定C、E和N三个参数，请你编写一个函数，计算出水箱变空的天数。

输入格式

输入共一行，包含三个整数C、E和N，以空格隔开。

输出格式

输出一行，包含一个整数表示水箱变空的天数。

数据范围

• 1 <= C <= 10^9
• 1 <= E <= C
• 1 <= N <= 10^9

示例

输入

1000 100 5

输出

10

题意分析

假设第$i$天后，水箱中还剩下$x$升的水，则有如下关系式：

$x = C - E \times i$

当$x \leq 0$时，水箱已经变空，记录当前的天数$i$即可。

同时，需要注意$x$可能为实数，因此需要对$x$向下取整。

解题思路

显然，对于给定的C、E和N，使用暴力循环从第$1$天开始一天一天地模拟直到水箱变空是可行的，但是时间效率可能比较低。

因此，我们可以考虑使用二分查找来缩小解空间，找到满足条件的最小天数。

具体实现时，我们可以考虑使用左闭右开区间进行二分。

首先，定义二分区间$[l, r)$，其中$[l, r]$是可能的天数区间，我们要求的是最小可行天数，因此$[l, m)$是不可行的，而$(m, r]$是可行的。显然，在区间$[l, r)$中寻找答案。

二分查找的过程中，对于某个中间点$m = (l + r) / 2$，如果$m$天是可行的，则最小可行天数可能在$[l, m]$中，否则可能在$[m + 1, r)$中。

如果当前天数$t$诱导$x = C - E \times t \le 0$，则表明当前天数可行，最小可行天数可能在$[l, t]$中，否则可能在$[t + 1, r)$中。

代码示例

def empty_tank(C: int, E: int, N: int) -> int:
    l, r = 0, N
    while l < r:
        m = (l + r) // 2
        if C - E * m <= 0:
            r = m
        else:
            l = m + 1
    return l

时间复杂度：$O(\log N)$