使用动态编程的给定字符串的不同回文子字符串

什么是回文子字符串

回文子字符串指的是正着读和反着读都一样的字符串片段。比如，对于字符串"ababa"，它的回文子字符串包括"a"、"b"、"a"、"b"、"a"、"aba"、"bab"、"ababa"等。

动态编程的思路

对于给定字符串，我们可以通过动态编程的方法来分别计算出每个子串是否为回文子字符串，以及每个子串内回文子字符串的个数。

具体思路如下：

1. 定义一个二维数组dp[N][N]，其中dp[i][j]表示从第i个字符到第j个字符的子串是否为回文子字符串。
2. 初始化dp数组。对于任意的i，dp[i][i]都等于1。对于任意的相邻字符i和i+1，如果它们相等，则dp[i][i+1]等于1。
3. 状态转移。从长度为3开始，依次计算所有长度的子串是否为回文子字符串。对于长度为len的子串s，如果s的首尾字符相等并且s去掉首尾字符的子串也是回文子字符串，则s也是回文子字符串，即dp[i][i+len-1]等于1。对于每个dp[i][j]等于1的子串，可以计算出它内部回文子字符串的个数，具体方法是将子串分为三部分，左边和右边分别与它的去掉首尾字符的子串匹配（即dp[i+1][j-1]等于1），中间部分加1即为它内部回文子字符串的个数。

代码实现

以下是使用Python实现上述思路的代码片段：

def count_palindromic_substrings(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    for i in range(n - 1):
        if s[i] == s[i + 1]:
            dp[i][i + 1] = 1

    # 状态转移
    for len_ in range(3, n + 1):
        for i in range(n - len_ + 1):
            j = i + len_ - 1
            if s[i] == s[j] and dp[i + 1][j - 1]:
                dp[i][j] = 1

    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i, n):
            if dp[i][j]:
                count += 1 + sum(dp[i + 1][j - 1])

    return count

示例

对于字符串"ababa"，上述代码返回值为9，即它具有9个回文子字符串，分别是"a"、"b"、"a"、"b"、"a"、"aba"、"bab"、"ababa"和"aba"。

结语

动态编程是一种常用的算法思想，在求解字符串问题时也有广泛的应用。本文介绍了一种动态编程的思路，用于计算给定字符串的不同回文子字符串的数量。对于这类问题，我们可以根据具体情况设计合理的状态和状态转移方程，在实际应用中灵活运用。