找到非自相交闭合多边形的质心

在计算机图形学中，我们经常需要计算有限数目的点所组成的多边形的质心，即多边形所有顶点的平均值。但是，如果该多边形是自相交的，计算出的质心可能会偏移多边形的实际中心。因此，本文将介绍如何找到非自相交闭合多边形的质心。

定义多边形

我们使用以下三种数据结构来定义一个多边形：

1. 点：具有x和y坐标的2D点。

class Point:
    def __init__(self, x: float, y: float):
        self.x, self.y = x, y

2. 线段：由两个点组成的线段。

class Segment:
    def __init__(self, p1: Point, p2: Point):
        self.p1, self.p2 = p1, p2

3. 多边形：由一系列顺序相连的线段和顶点组成的多边形。

class Polygon:
    def __init__(self, segments: List[Segment]):
        self.segments = segments

判断自相交

在计算质心之前，需要先判断多边形是否自相交。我们可以通过检查每条线段是否与其他线段相交来实现。

def intersect(segment1: Segment, segment2: Segment) -> bool:
    # 计算交点
    # ...

    # 判断交点是否在两条线段上
    # ...

    return False

def is_self_intersecting(polygon: Polygon) -> bool:
    for i, segment1 in enumerate(polygon.segments):
        for j, segment2 in enumerate(polygon.segments):
            if i == j: continue
            if intersect(segment1, segment2):
                return True
    return False

计算质心

如果多边形不自相交，质心可以通过以下公式计算：

其中，A是多边形的面积，x是多边形上的点坐标。

我们可以使用Green公式来计算这个积分。具体来说，我们可以将多边形分成若干个三角形，计算每个三角形的面积和贡献到总面积和质心中。

def triangle_area(p1: Point, p2: Point, p3: Point) -> float:
    # 计算三角形面积
    # ...

    return area

def polygon_area(polygon: Polygon) -> float:
    # 将多边形分解为三角形
    # ...

    # 计算每个三角形的面积
    # ...

    # 计算总面积
    # ...

    return area

def polygon_centroid(polygon: Polygon) -> Point:
    # 将多边形分解为三角形
    # ...

    # 计算每个三角形的面积和重心
    # ...

    # 计算总面积和质心
    # ...

    return centroid

上述伪代码中的函数triangle_area计算三角形面积，polygon_area计算多边形面积，polygon_centroid计算多边形质心。

总结

本文介绍了如何找到非自相交闭合多边形的质心。我们使用点、线段和多边形三种数据结构来表示多边形，通过检查每条线段是否相交来判断多边形是否自相交，使用Green公式将多边形分解为若干个三角形，计算每个三角形的面积和质心。