每个数组元素出现索引的绝对差之和

问题描述

给定一个整数数组 nums，返回每个元素与其余元素出现位置索引差的绝对值之和。

示例：

输入：

nums = [1,4,7,3,1,2,6,3]

输出：

result = 47

解释：

解释: 对于元素 i=0: sum( |0-j| + |0-k| ) = 
|0-1| + |0-2| + ... + |0-7| = 28
对于元素 i=1: sum( |1-j| + |1-k| ) = 
|1-0| + |1-2| + ... + |1-7| = 20
对于元素 i=2: sum( |2-j| + |2-k| ) = 
|2-0| + |2-1| + ... + |2-7| = 16
对于元素 i=3: sum( |3-j| + |3-k| ) = 
|3-0| + |3-1| + ... + |3-7| = 16
对于元素 i=4: sum( |4-j| + |4-k| ) = 
|4-1| + |4-2| + ... + |4-7| = 12
对于元素 i=5: sum( |5-j| + |5-k| ) = 
|5-1| + |5-2| + ... + |5-7| = 20
对于元素 i=6: sum( |6-j| + |6-k| ) = 
|6-0| + |6-1| + ... + |6-5| + |6-7| = 12
对于元素 i=7: sum( |7-j| + |7-k| ) = 
|7-0| + |7-1| + ... + |7-6| = 19

result = 28 + 20 + 16 + 16 + 12 + 20 + 12 + 19 = 47

解决方案

方案1：双重循环

对于每个数字，计算它与其他数字索引差的绝对值之和。

具体实现请看以下 Python 代码：

class Solution:
    def abs_diff_sum(self, nums):
        result = 0
        n = len(nums)
        for i in range(n):
            for j in range(n):
                result += abs(i - j)
        return result

但是这种双重循环算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，对大规模数据效率较低。

方案2：数学计算

对于每个数字，它与其他数字索引差的绝对值之和，可以化简为以下公式：

$$ result = \sum_{i=0}^{n-1} (i * nums[i] - sum(nums[0:i]) + sum(nums[i+1:n]) - (n-1-i)*nums[i]) $$

具体实现请看以下 Python 代码：

class Solution:
    def abs_diff_sum(self, nums):
        n = len(nums)
        result = sum(i * nums[i] for i in range(n))
        pre_sum = 0
        post_sum = sum(nums[1:])
        for i in range(n - 1):
            pre_sum += nums[i]
            post_sum -= nums[i + 1]
            result += (pre_sum - (i + 1) * nums[i]) + ((n - 1 - i) * nums[i] - post_sum)
        return result

这种算法的时间复杂度为 $O(n)$，对大规模数据效率较高。

总结

经过这两种算法的比较，我们发现第二种算法时间复杂度更低，效率更高。因此，对于规模较大的数组求解，我们应该选择时间复杂度低的算法进行实现。