📅 最后修改于: 2023-12-03 15:25:02.574000 🧑 作者: Mango
在图论中，拓扑排序是一种算法，它可以将有向无环图(DAG)中的所有节点排成一个线性序列，使得对于任意一对有向边 (u,v)，都有节点 u 在序列中排在节点 v 的前面。拓扑排序可以用于检测有向图中是否有环，如果有环，则无法进行拓扑排序。同时，拓扑排序还可以用于对任务进行排序，以便确定任务执行的顺序。
本文介绍一种求解字典序最小的拓扑排序的方法。字典序最小的拓扑排序是指在所有符合拓扑排序条件的排序中，字典序最小的排序。具体来说，对于两个不同的拓扑排序 T1 和 T2，如果存在一个位置 i (1 ≤ i ≤ n)，使得在 i 之前的所有位置排序相同，但是在位置 i 上 T1 中的节点要排在 T2 中的节点之前，则 T1 的字典序比 T2 小。
为了求解字典序最小的拓扑排序，我们需要引入另外一个概念：拓扑序。对于有向无环图G=(V,E)，拓扑序是对所有节点的一种全序关系（即任意两个节点之间都可以比较大小），使得如果 (u,v)∈E，则节点u的拓扑序小于节点v的拓扑序。
我们可以使用队列来实现拓扑排序。首先将入度为0的节点加入队列。然后每次从队列中取出一个节点 u，将 u 的所有邻接节点的入度减1。如果某个邻接节点的入度为0，则将其加入队列。这个过程中，如果队列中的节点数不足 n 个，则说明存在环，无法进行拓扑排序。
我们在实现拓扑排序的同时，还需要维护每个节点的拓扑序。设节点 u 的拓扑序为 f(u)，则有 f(u) = max{f(v)+1|(v,u)∈E}。其中 max 表示最大值。由于节点的拓扑序需要依赖于其邻接节点的拓扑序，因此不能直接求解。但是我们可以借助字典序最小的排序影响最小的特征，使用堆来维护当前入度为0的节点中，拓扑序最小的节点。
具体来说，我们在将入度为0的节点加入队列的同时，将其拓扑序加入堆中。每次从队列中取出一个节点 u 后，将 u 的邻接节点的拓扑序更新为 max{f(v)+1|(v,u)∈E}，更新后如果邻接节点的入度为0，则将其拓扑序加入堆中。这样，堆中的节点就是当前入度为0的节点中拓扑序最小的节点，我们将其加入结果数组中即可。
下面是基于 Python 语言实现的代码：
from typing import List
import heapq
def topoSort(n: int, edges: List[List[int]]) -> List[int]:
# 初始化入度数组和邻接表
indegrees = [0] * n
adj = [[] for _ in range(n)]
for u, v in edges:
indegrees[v] += 1
adj[u].append(v)
# 初始化堆和拓扑序数组
pq = []
for i in range(n):
if indegrees[i] == 0:
heapq.heappush(pq, i)
f = [0] * n
res = []
# 拓扑排序
for k in range(n):
if not pq:
return []
u = heapq.heappop(pq)
f[u] = k
res.append(u)
for v in adj[u]:
indegrees[v] -= 1
if indegrees[v] == 0:
heapq.heappush(pq, v)
return res
代码中第 3 行到第 8 行是初始化入度数组和邻接表，其中 indegrees[i] 表示节点 i 的入度，adj[i] 表示节点 i 的邻接节点。第 11 行到第 14 行是初始化堆和拓扑序数组，pq 是一个小根堆，存储当前入度为0的节点中拓扑序最小的节点。f[i] 表示节点 i 的拓扑序。第 17 行到第 26 行是拓扑排序的核心代码，首先从堆中取出一个节点 u，计算它的拓扑序 f[u]，然后将其加入结果数组 res 中。接下来更新 u 的邻接节点 v 的拓扑序 f[v]，将入度为0的邻接节点加入堆中，继续循环直到所有节点都被加入结果数组中，或者发现有环。