最长素数子序列

本文介绍了一种算法，用于找到给定序列中最长的，由相邻元素相乘得到的素数序列。

算法描述

1. 定义一个动态规划数组 dp，dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长素数子序列的长度。
2. 初始化 dp 数组为 1，即每个元素本身都是一个长度为 1 的素数子序列。
3. 对于每个元素 i，枚举前面的元素 j，如果 j 是素数，并且 i 是 j 的倍数，说明 i 可以加入以 j 结尾的素数子序列中，更新 dp[i] 为 dp[j]+1。
4. 最终 dp 数组中的最大值即为所求结果。

代码实现

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def longest_primes_subsequence(nums):
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if is_prime(nums[j]) and nums[i] % nums[j] == 0:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

# example
nums = [2, 3, 6, 7, 8, 21, 23]
longest_primes_subsequence(nums) # 3

性能分析

• 时间复杂度：$O(n^2\sqrt{n})$，其中 n 是序列长度。
• 空间复杂度：$O(n)$。
• 所需素数判定次数与序列中素数个数有关，不会超过序列长度。