欧拉二叉树之旅

简介

欧拉二叉树是一种特殊的二叉树，它保留了给定树（无向图）的欧拉回路信息。欧拉二叉树是基于将给定树转化为欧拉回路而产生的，因此可以被用于解决很多欧拉回路相关问题。它的构建算法简单易懂，非常适合初学者理解和学习。

构建欧拉二叉树

给定一棵无向图，我们可以通过以下步骤构建出它的欧拉二叉树：

1. 随机选取一个结点作为欧拉回路的起点，并遵循以下规则前进：
   • 如果遇到未被访问过的结点，则前往该结点；
   • 如果遇到已经访问过的结点，并且存在尚未探索完毕的未被访问的边，则前往该边对应的结点，并将该边标记为已访问；
   • 如果以上两种情况都不满足，则回退到当前结点的祖先结点。
2. 根据欧拉回路的顺序，构建欧拉二叉树：
   • 如果当前结点没有左儿子，则将下一个结点作为当前结点的左儿子；
   • 如果当前结点的左儿子已经存在，并且其深度小于下一个结点的深度，则将下一个结点作为当前结点的右儿子，并将其加入双端队列中；
   • 否则，回退到当前结点的祖先结点，直到满足上述条件。

代码实现

以下为Python语言实现的代码片段，用于构建欧拉二叉树：

# 定义结点类
class Node:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

# 构建欧拉二叉树
def euler_tree(graph, start):
    # 初始化欧拉回路
    path = [start]
    used_edges = set()
    q = deque([start])

    # 生成欧拉回路
    while q:
        curr = q[-1]

        if graph[curr]:
            next_node = graph[curr].pop()
            if (curr, next_node) not in used_edges:
                used_edges.add((curr, next_node))
                used_edges.add((next_node, curr))
                path.append(next_node)
                q.append(next_node)
        else:
            q.pop()

    # 构建欧拉二叉树
    root = Node(path[0])
    last_nodes = {root}

    for node in path[1:]:
        curr = Node(node)

        if not last_nodes:
            last_nodes = {root}

        if not last_nodes.pop().left:
            last_nodes.pop().left = curr
        else:
            while last_nodes:
                last_node = last_nodes.pop()
                if last_node.left and get_depth(last_node.left) < get_depth(curr):
                    last_node.right = curr
                    last_nodes.add(last_node.right)
                    break
                last_nodes.add(last_node)

    return root

# 获取结点深度
def get_depth(node):
    if node:
        return max(get_depth(node.left), get_depth(node.right)) + 1
    return 0

以上代码中，函数euler_tree用于构建欧拉二叉树，函数get_depth用于获取结点的深度。注释在代码中已经给出。

总结

欧拉二叉树是一种非常有趣的数据结构，可以用于解决很多欧拉回路相关问题。其构建算法简单易懂，基于深度优先遍历的思想进行优化，非常适合初学者理解。但需要注意的是，欧拉二叉树的构建算法只适用于无向图。