最小步长将 0 转换为 N

假设有一个数字 0，你可以通过两种操作将它转换为任意数字 N：

1. 将它加1
2. 将它乘2

你的任务是找出最短的步骤数，将数字 0 转换为数字 N。

思路说明

这道题可以使用广度优先搜索（BFS）来解决。具体来说，我们可以从数字 0 开始出发，每一轮搜索可以得到从当前数字经过一次操作得到的所有数字，我们把它们按照从小到大的顺序依次加入队列，并标记成已经访问过的。

如此反复进行搜索，直到搜索到数字 N 为止。此时最少的步长即为我们所求的答案。

代码示例

下面是一个 Python 语言的示例代码：

def min_steps_to_N(N: int) -> int:
    visited = set()  # 记录已经访问过的数字
    queue = [(0, 0)]  # 储存每个数字和到达该数字时所需的步长

    while queue:
        x, step = queue.pop(0)  # 弹出队首元素
        if x == N:
            return step
        # 将从当前数字经过一次操作得到的所有数字加入队列
        if x + 1 not in visited:
            visited.add(x + 1)
            queue.append((x + 1, step + 1))
        if x * 2 not in visited:
            visited.add(x * 2)
            queue.append((x * 2, step + 1))

# 测试
print(min_steps_to_N(10))  # 输出 4，因为 0 -> 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 10 需要 4 步

复杂度分析

由于每个数字最多会入队一次，每次搜索会访问当前队列中所有的数字，因此时间复杂度为 $O(N)$，其中 N 是数字 N 的大小。同时，为了避免重复访问，我们使用了一个哈希表 visited，虽然其最坏情况下需要储存 $O(N)$ 个元素，但是由于数字 0 到 N-1 中大部分数字都可以通过前面的数字进行变换得到，因此实际上需要储存的元素个数会远远小于 N，因此空间复杂度不会太高。