通过乘以 A 或除以 B 将 N 减少到 1 的最小操作

简介

在编程比赛或问题中，我们通常会遇到需要通过乘以 A 或除以 B 将 N 减少到 1 的问题。这个问题实际上是数学中的著名问题，称之为 Collatz 猜想。这个问题的简要描述是：对于给定的正整数N，我们可以对其进行以下两种操作之一：

1. 将N乘以A，N=A*N；
2. 将N除以B（仅当N是B的倍数），N=N/B；

对于任意正整数N，通过若干次这样的操作，我们最终可以将N减少到1。现在的问题是：如何通过这些操作，使得使用的操作次数最少？

解法

Collatz 猜想是数学中的一个未解决问题。但是，在编程比赛或问题中，我们通常需要给出一个能够在有效时间内解决这个问题的算法，这就需要通过一些技巧来解决。

实际上，这个问题的解决方案不是唯一的。在此，我们介绍两种常用的解决方案。

解法一：贪心算法

贪心算法是一种常用的优化算法，通常在时间有限的情况下使用。对于问题中的每一步操作，贪心算法会选择最优的操作。在本问题中，贪心算法的实现如下：

1. 如果N是1，则输出0并结束；
2. 如果N可以被B整除，则将N除以B并计数器加1；
3. 否则将N乘以A并计数器加1；
4. 重复步骤1-3，直到N变为1；
5. 输出计数器中的操作次数。

我们可以证明，这种解决方案是正确的。但是，在某些情况下，贪心算法可能会导致不可预测的结果。因此，我们必须使用一种更加保险的方法。

解法二：动态规划

动态规划是一种高效的算法，通常用于解决优化问题。在本问题中，我们可以使用动态规划来找到最小操作次数。

我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示将i减少到1所需的最小操作次数。然后，通过枚举和递推，我们可以计算出所有小于N的整数i的dp[i]。最后，dp[N]的值就是我们要的答案。

具体实现可以参照下面的代码片段：

def collatz_dp(N: int, A: int, B: int) -> int:
    if N == 1:
        return 0
    
    INF = float("inf")
    dp = [INF] * (N + 1)
    dp[1] = 0
    
    for i in range(2, N + 1):
        if i % B == 0:
            dp[i] = dp[i // B] + 1
        dp[i] = min(dp[i], dp[i * A] + 1)
    
    return dp[N]

在这个代码片段中，我们使用INF表示无穷大，这样可以方便地和其他数字比较大小。然后，我们给dp数组预定义了初始值，将dp[1]的值设为0。

接下来，我们使用for循环枚举从2到N的所有数字i，通过dp[i // B]或dp[i * A]计算dp[i]的值。最后，我们返回dp[N]的值。

总结

通过乘以 A 或除以 B 将 N 减少到 1 的最小操作是一个有趣的问题，也是一个非常典型的编程问题。在实际编码中，我们可以使用贪心算法或动态规划来解决这个问题。贪心算法具有简单易懂的特点，但是在某些情况下可能会导致不可预测的结果；而动态规划则是一种高效的算法，可以确保我们找到最优解。