投掷N个有偏见的硬币时，正面比背面多的可能性

简介

这个主题涉及到的问题是：当投掷一些有偏见的硬币时，正面比背面多的可能性有多大？

算法设计和分析是计算机科学中基本的研究领域。在处理这样的问题时，常见的方法是通过模拟和概率理论来得出答案。

在这个主题中，我们将会使用这些方法来回答这个问题。

算法介绍

假设有 $N$ 个有偏见的硬币，它们的正面的概率分别为 $p_1, p_2, ..., p_N$。我们试图通过投掷这些硬币来估计正面比背面多的可能性。

我们可以使用模拟方法来解决这个问题。具体地，在每次实验中，我们对每个硬币投掷一次，并记录下正面的总数。这个过程可以通过以下的伪代码描述：

def simulate_coins_bias(N, biases):
    """
    N: 硬币数量
    biases: 各硬币正面朝上的概率列表
    """
    heads = 0  # 正面朝上的个数
    for bias in biases:
        if random() < bias:
            heads += 1
    return heads

我们可以反复运行这个函数，得到一系列正面朝上的个数，以此来估计正面比背面多的可能性。

注意到，这个方法的问题在于需要进行大量的实验，并且需要保证每个实验是相互独立的。如果 $N$ 很大，我们需要进行很多次实验才能得出准确的结果。

另一个方法是使用概率理论来计算正面比背面多的可能性。具体地，我们可以定义随机变量 $X$ 表示正面朝上的硬币数量，则 $X$ 的期望值为：

$$E(X) = \sum_{i=1}^{N} p_i$$

要计算正面比背面多的可能性，我们需要计算：

$$P(X > N/2) = \sum_{i=\lceil N/2 \rceil}^N \binom{N}{i} p_1^i(1-p_1)^{N-i} \cdots p_N^i(1-p_N)^{N-i} $$

其中 $\binom{N}{i}$ 是组合数。这个问题的困难之处在于组合数项的个数非常大，但可以使用递归、动态规划或分治等算法来解决这一问题。

代码示例

模拟算法

这是一个用 Python 实现的模拟算法：

from random import random

def simulate_coins_bias(N, biases, iterations=1000):
    """
    N: 硬币数量
    biases: 各硬币正面朝上的概率列表
    iterations: 实验次数
    """
    num_heads = 0
    for _ in range(iterations):
        heads = sum(1 for bias in biases if random() < bias)
        if heads > N / 2:
            num_heads += 1
    return num_heads / iterations

该算法的输入为硬币数量 $N$，每个硬币的正面朝上的概率列表 $biases$，以及实验次数 $iterations$。该算法输出正面比背面多的可能性。在该算法中，我们使用了 Python 中的列表生成器和求和函数 $sum$。

概率算法

这是一个用 Python 实现的概率算法：

from math import comb

def probability_coins_bias(N, biases):
    """
    N: 硬币数量
    biases: 各硬币正面朝上的概率列表
    """
    p = sum(biases) / N
    num_heads = 0
    for i in range(N // 2 + 1, N + 1):
        num_heads += comb(N, i) * p ** i * (1 - p) ** (N - i)
    return num_heads

该算法的输入同样是硬币数量 $N$ 以及每个硬币的正面朝上的概率列表 $biases$。该算法计算的是正面比背面多的可能性。

在该算法中，我们使用了 Python 中的组合数函数 $comb$ 和幂函数 $**$。注意到期望值可以通过求和来计算，所以我们使用了一个循环来进行求和。