最优二叉搜索树

最优二叉搜索树，又称为Huffman树（霍夫曼树），是一种用于提高搜索效率的数据结构。它主要利用动态规划来构造一棵二叉搜索树，使得查找的平均时间复杂度最小。

算法原理

对于一组有序的元素，构建一棵二叉树时，我们可以将元素数组分成两部分，并将中间元素作为根节点。这样，每次只需要判断目标元素与根节点的大小关系，就可以快速找到目标元素。

而最优二叉搜索树的原理也是类似的。它采用分治的思想，根据符号的频率将符号分成若干个集合，每个集合是一个子问题。

我们定义一个权重函数$w_{i,j}$表示在符号集合$i$到$j$中全部搜索的概率之和，$e_{i,j}$表示在符号集合$i$到$j$中查找不到的概率，那么假设我们已经构建好前$i$个符号的最优搜索树，我们只需要在$[i+1, j]$中找到根节点，才能构造出前$i+1$个元素的最优搜索树。

对于每个根节点，我们将符号分成左右两个部分。因此根节点的代价为$w_{i,j} + e_{i,j+1} + e_{i+1,j}$，其中$w_{i,j}$表示根节点的搜索代价，$e_{i,j+1}$表示左子树中查找不到的概率，$e_{i+1,j}$表示右子树中查找不到的概率。

遍历所有可能成为根节点的元素，计算出代价最小的根节点，将其作为当前子树的根节点。

算法实现

算法实现中，我们可以采用一个二维数组来存储每个子问题的最优代价。假设我们有$n$个符号，那么数组$C[i][j]$存储第$i$个到第$j$个符号的最小搜索代价。

对于每个子问题，我们需要遍历所有的可能根节点，计算出最小代价。因此，我们需要两个循环，一个循环控制子问题的长度，另一个循环枚举子问题中所有符号所在位置的可能根节点。

def optimal_bst(p, q, n):
    e = [[0] * (n+1) for i in range(n+2)]
    w = [[0] * (n+1) for i in range(n+2)]
    root = [[0] * n for i in range(n)]
    
    for i in range(n+1):
        e[i][i-1] = q[i-1]
        w[i][i-1] = q[i-1]
    
    for l in range(1, n+1):
        for i in range(1, n-l+2):
            j = i + l - 1
            e[i][j] = float("inf")
            w[i][j] = w[i][j-1] + p[j-1] + q[j]
            for r in range(i, j+1):
                t = e[i][r-1] + e[r+1][j] + w[i][j]
                if t < e[i][j]:
                    e[i][j] = t
                    root[i-1][j-1] = r
    
    return e, root
    
p = [0.15, 0.10, 0.05, 0.10, 0.20]
q = [0.05, 0.10, 0.05, 0.05, 0.05, 0.10]
n = len(q) - 1

e, root = optimal_bst(p, q, n)

print("最小代价为：", e[1][n])
print("子树根结点编号：", root)

算法分析

最优二叉搜索树算法的时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$。其中，嵌套的循环用来遍历所有子问题，时间复杂度为$O(n^2)$。计算每个子问题的最小代价需要枚举每个可能的根节点，时间复杂度为$O(n)$。

综上，最优二叉搜索树算法是一种均衡性能和空间的算法。在对于具有长期搜索需求场合，特别是有大量相似子问题的场合，最优二叉搜索树算法能够快速的解决问题。