找出两个给定和和 GCD 的数字

问题描述

给定两个整数 a 和 b，以及一个整数 gcd，求出两个整数 x 和 y，满足 x + y = a，gcd(x, y) = gcd。

解决方案

这个问题可以通过以下步骤解决：

1. 如果 a 或 b 小于 gcd，则无解。因为 gcd(x, y) 不可能大于 x 和 y 中的最小值。
2. 如果 a 和 b 都是 gcd 的倍数，则可以设置 x = y = a / 2 和 gcd = a / gcd。
3. 如果 a 和 b 不都是 gcd 的倍数，则可以使用扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）计算出 x 和 y 的值，使得 ax + by = gcd。
4. 根据 x 和 y 的值，可以计算出满足条件的两个整数 x' = x * (a / gcd) 和 y' = y * (a / gcd)。

下面是具体的实现代码：

import math

def find_numbers(a, b, gcd):
    if a < gcd or b < gcd:
        return None
    if a % gcd == 0 and b % gcd == 0:
        x = y = a // 2
        gcd = a // gcd
    else:
        x, y, gcd = extended_euclidean_algorithm(a, b, gcd)
    x *= a // gcd
    y *= a // gcd
    return x, y

def extended_euclidean_algorithm(a, b, gcd):
    x1, x2, x3 = 1, 0, a
    y1, y2, y3 = 0, 1, b
    while y3 != gcd:
        quotient = x3 // y3
        t1, t2, t3 = x1 - quotient * y1, x2 - quotient * y2, x3 - quotient * y3
        x1, x2, x3 = y1, y2, y3
        y1, y2, y3 = t1, t2, t3
    return x1, x2, x3

性能分析

算法的时间复杂度主要取决于扩展欧几里得算法的表现。在最坏情况下，扩展欧几里得算法的时间复杂度为 O(log(min(a, b)))，因此总时间复杂度为 O(log(min(a, b)))。空间复杂度为 O(1)。

测试案例

assert find_numbers(6, 9, 3) == (3, 3)
assert find_numbers(12, 18, 6) == (6, 6)
assert find_numbers(7, 10, 1) == (3, 4)
assert find_numbers(8, 12, 3) == None