计算边在树中出现次数的算法

问题描述

给定一棵有n个节点的树，计算每一条边出现在树的所有可能路径中的次数。

解决方案

由于每条边在一条路径中出现一次，我们可以考虑从每个节点出发，向下遍历计算每条边的贡献次数。

具体实现可以使用递归的方式，在每个节点遍历其子节点，并计算该节点向下子树中的每条边的贡献次数。遍历过程中，我们可以使用一个数组count来记录每条边的贡献次数。

def dfs(u, p):
    for v in adj[u]:
        if v == p:
            continue
        dfs(v, u)
        count[u, v] = (n - subtree_size[v]) * (subtree_size[v])
        subtree_size[u] += subtree_size[v]

其中，adj表示邻接表，subtree_size表示以节点u为根的子树大小。

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(n)$，因为我们只需要遍历一次每个节点，且每个节点只需要遍历其子节点。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为$O(n)$，因为我们需要使用一个数组count来记录每条边的贡献次数，同时需要使用一个数组subtree_size来记录以节点u为根的子树大小。

参考文献

• LeetCode. (2021). Count Subtrees With Max Distance Between Cities. https://leetcode.com/problems/count-subtrees-with-max-distance-between-cities/.