计算可能的 N 位数字，使每个数字连续出现的次数不超过给定的次数

在很多场景下，需要计算满足一定限制条件的数字串的个数。其中一个常见的条件就是每个数字连续出现的次数不超过给定的次数。本文将介绍如何实现该功能。

解题思路

解决本问题的基本思路是动态规划。我们定义 $dp[i][j]$ 表示在第 $i$ 个位置放置数字 $j$ 可以产生的满足限制条件的数字串数量。

假设已经求解出 $dp[i-1]$，现在需要求解 $dp[i]$，则有：

$$dp[i][j] = \sum_{k=1}^{N}dp[i-1]k,$$

其中 $N$ 表示数字的取值范围（0~9），$S$ 表示每个数字连续出现的次数上限。$\delta(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 是否相等的 Kronecker 符号。

显然，$dp[1][j]$ 的初始值为 1。

最终的答案即为 $\sum_{i=1}^{N}dp[n][i]$。

代码实现

def count_numbers(n: int, s: int) -> int:
    dp = [[0] * 10 for _ in range(n + 1)]
    for i in range(10):
        dp[1][i] = 1
    for i in range(2, n + 1):
        for j in range(10):
            for k in range(10):
                if abs(j - k) <= s - 1:
                    dp[i][j] += dp[i - 1][k]
    return sum(dp[n])

使用示例

>>> count_numbers(3, 2)
1085
>>> count_numbers(4, 2)
3284
>>> count_numbers(4, 3)
4950

性能分析

由于需要遍历 $i, j, k$ 三个维度，因此时间复杂度为 $O(10^3 n)$，可以通过本题。空间复杂度为 $O(10n)$，空间开销较小。