最大和递增子序列 | DP-14

本文介绍了一种动态规划算法，用于求解一个序列中的最大和递增子序列（Maximum Sum Increasing Subsequence）问题。该问题可以看做是最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）问题的扩展，因为要求求得的子序列的元素和最大。

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 arr，请你找出其中的一个最大和递增子序列，并返回它的元素和。

算法思路

本题可以使用动态规划算法求解。我们定义一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最大和递增子序列。

对于数组中的每一个元素 arr[i]，它的最大和递增子序列和前面的元素有关。因此，我们需要遍历数组，对于每一个元素 arr[i]，都需要从 0 到 i-1 扫描一遍前面所有元素，找到以之前某个元素 arr[j] 结尾的最大和递增子序列，并且 arr[i] > arr[j]，那么就可以用 arr[i] 更新 arr[j] 的最大和递增子序列，即：

$$dp[i] = \max { dp[j] + arr[i] }, \quad\forall 0 \leq j < i \quad \text{and} \quad arr[j] < arr[i]$$

最终，我们需要返回最大的 dp[i]，即为所求的最大和递增子序列。

Python代码实现

def max_sum_increasing_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    dp = [0] * n
    for i in range(n):
        dp[i] = arr[i]
        for j in range(i):
            if arr[i] > arr[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + arr[i])
    return max(dp)

时间复杂度分析

由于我们需要遍历数组，并在每个位置都扫描一遍前面的元素，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。