断开连接图的 BFS

什么是断开连接图？

首先，我们需要了解什么是连通性。在一个无向图中，如果从任意一个点出发，都可以到达图中的所有其他点，那么这个图就是连通的。否则，如果存在某些点无法到达其他点，那么这个图就是不连通的。

在不连通的图中，每个连通子图称为一个连通分量。如果将所有连通分量看做一个节点，两个连通分量之间的边权重可以表示它们之间的连通性。将这个带权无向图称为连通分量图。

断开连接图，则指的是在一个图中，被移除的若干条边完全断开了图的连通性，从而将原图分成多个不连通分量的新图。

BFS 算法

BFS（广度优先搜索）是一种图遍历算法。它沿着宽度遍历图的结构，先遍历起始顶点的所有直接邻居节点，然后遍历邻居节点的所有未被访问过的直接邻居节点，以此类推，直到遍历完整个图。

BFS 算法可以使用队列来实现，先将起始节点入队，然后将其标记为已访问。接下来，将队首节点出队，并将其未访问过的邻居节点加入队列，并标记为已访问。依此类推，直到队列为空为止。

BFS 算法可以解决许多问题，比如：

• 判断两个点之间是否存在路径。
• 找到两个点之间的最短路径。
• 在一个连通图中，找到一个节点到所有其他节点的最短距离。

利用 BFS 求解断开连接图

在给定一张图和一些待移除的边的情况下，我们可以利用 BFS 算法求解出图中被移除边后的连通分量图。

具体来说，我们可以先将待移除的边从图中剔除，并记录下被移除的边。接着，从每个未被访问过的节点开始，进行 BFS 算法，得到该连通分量内所有的点。最终，我们就可以得到被移除边后的连通分量图。需要注意的是，由于我们的图是无向图，因此需要将被移除的边的两个方向都考虑到，即先将一条边变成两条有向边。

下面是一个利用 BFS 算法求解断开连接图的 Python 代码示例：

from collections import deque

def bfs(graph, start, visited):
    """BFS 遍历"""
    queue = deque([start])
    visited.add(start)
    while queue:
        vertex = queue.popleft()
        for neighbour in graph[vertex]:
            if neighbour not in visited:
                visited.add(neighbour)
                queue.append(neighbour)

def disconnected_graph_bfs(num_vertices, edges_to_remove):
    """求解断开连接图"""
    # 1. 构建原始无向图
    graph = [[] for _ in range(num_vertices + 1)]
    for (u, v) in edges_to_remove:
        graph[u].append(v)
        graph[v].append(u)

    # 2. 移除所有待移除的边
    for (u, v) in edges_to_remove:
        graph[u].remove(v)
        graph[v].remove(u)

    # 3. 进行 BFS 搜索，求出所有连通分量
    visited = set()
    disconnected_graphs = []
    for vertex in range(1, num_vertices + 1):
        if vertex not in visited:
            bfs(graph, vertex, visited)
            nodes_in_component = sorted(list(visited))
            disconnected_graphs.append(nodes_in_component)
    
    # 4. 根据连通分量构建连通分量图
    disconnected_graph = [[] for _ in range(len(disconnected_graphs))]
    component_index = {}
    for i in range(len(disconnected_graphs)):
        component_index[disconnected_graphs[i][0]] = i
        for j in range(i + 1, len(disconnected_graphs)):
            if any(node in disconnected_graphs[j] for node in disconnected_graphs[i]):
                disconnected_graph[i].append(j)
                disconnected_graph[j].append(i)

    return disconnected_graph

函数 disconnected_graph_bfs(num_vertices, edges_to_remove) 接受两个参数：

• num_vertices 表示图中节点的数量。
• edges_to_remove 是一个边的列表，表示要从原始无向图中移除的边。其中，每个元素为 (u, v)，表示要移除连接节点 u 和 v 的边。

函数的返回值为连通分量图。其中，每个连通分量以一个列表形式返回，表示该连通分量中所有的节点。连通分量图也是一个列表，其中，第 i 个元素为一个列表，表示与第 i 个连通分量相连的连通分量的下标。

总结

在本文中，我们介绍了断开连接图和 BFS 算法。通过利用 BFS 算法，我们可以求解出给定图中被移除边后的连通分量图。值得一提的是，本文代码示例中使用了 Python 语言进行演示，但是这个方法同样适用于其他编程语言。